Exercice 34

Exercice

Soit l’application \(g : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) définie par \[ g(x) = 3x - 4. \]

1. Calculer \(g(0)\), \(g(-1)\), \(g(1)\), \(g(-2)\) et \(g(2)\).
2. Représenter graphiquement l’application \(g\).

Réponse

g(0) = –4, g(–1) = –7, g(1) = –1, g(–2) = –10 et g(2) = 2. La droite d’équation g(x) = 3x – 4 passe par (0, –4) et (1, –1) avec une pente de 3.

Corrigé détaillé

Voici la correction détaillée de l’exercice.

---

1. Calcul des valeurs de \(g\)

La fonction est définie par : \[ g(x) = 3x - 4. \]

Nous allons calculer :

a) \(g(0)\)

En remplaçant \(x\) par 0 dans l’expression de \(g\), nous obtenons : \[ g(0) = 3 \times 0 - 4 = 0 - 4 = -4. \]

b) \(g(-1)\)

En remplaçant \(x\) par \(-1\) : \[ g(-1) = 3 \times (-1) - 4 = -3 - 4 = -7. \]

c) \(g(1)\)

En remplaçant \(x\) par 1 : \[ g(1) = 3 \times 1 - 4 = 3 - 4 = -1. \]

d) \(g(-2)\)

En remplaçant \(x\) par \(-2\) : \[ g(-2) = 3 \times (-2) - 4 = -6 - 4 = -10. \]

e) \(g(2)\)

En remplaçant \(x\) par 2 : \[ g(2) = 3 \times 2 - 4 = 6 - 4 = 2. \]

Ainsi, nous avons trouvé : - \(g(0) = -4\) - \(g(-1) = -7\) - \(g(1) = -1\) - \(g(-2) = -10\) - \(g(2) = 2\)

---

2. Représentation graphique de l’application \(g\)

La fonction \(g(x) = 3x - 4\) est une fonction affine, dont la forme générale est : \[ y = ax + b, \] avec ici \(a = 3\) (la pente) et \(b = -4\) (l’ordonnée à l’origine).

Étapes pour tracer la droite :

1. Tracer l’ordonnée à l’origine :

   • On place un point en \((0, b)\). Ici \(b = -4\), donc le point \((0, -4)\) est sur la droite.

2. Utiliser la pente pour placer un second point :

   • La pente \(a = 3\) signifie que pour chaque unité d’augmentation en \(x\), \(y\) augmente de 3 unités.
   • En partant du point \((0, -4)\), si on augmente \(x\) de 1, alors \(y = -4 + 3 = -1\). On obtient le point \((1, -1)\).

3. Tracer la droite :

   • Une fois les deux points \((0, -4)\) et \((1, -1)\) repérés, il suffit de tracer une droite qui les relie.
   • Vous pouvez prolonger la droite dans les deux directions pour obtenir la représentation complète de l’application sur \(\mathbb{R}\).

Vérification avec les valeurs calculées :

• Le point \((2, 2)\) obtenu avec \(g(2)=2\) doit se trouver sur la droite.
• Le point \((-1, -7)\) obtenu avec \(g(-1)=-7\) doit également se situer sur cette droite.

Ces vérifications montrent que notre droite est correctement tracée.

---

Conclusion

La correction permet d’obtenir :

1. Les valeurs de l’application :
   • \(g(0) = -4\)
   • \(g(-1) = -7\)
   • \(g(1) = -1\)
   • \(g(-2) = -10\)
   • \(g(2) = 2\)
2. La représentation graphique de \(g(x) = 3x - 4\) est une droite passant par les points \((0, -4)\) et \((1, -1)\) avec une pente de 3.

Cette méthode pas à pas vous montre comment évaluer une fonction et représenter graphiquement une fonction affine.