Exercice 33

Soit \(f\) une fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \[ f(x) = 2x + 1. \]

1. Calculer \(f(0)\), \(f(-1)\), \(f(1)\), \(f(-3)\) et \(f(3)\).

2. Tracer le graphique de la fonction \(f\).

Réponse

Les réponses sont :

1. Calcul des valeurs :
    • f(0)=1, f(-1)=-1, f(1)=3, f(-3)=-5 et f(3)=7.

2. Pour tracer le graphe de f(x)=2x+1 :
    • Placez le point d’intersection (0,1) sur l’axe y,
    • Utilisez la pente de 2 pour obtenir un autre point, par exemple (1,3),
    • Tracez la droite passant par ces points.

Corrigé détaillé

Nous avons la fonction linéaire définie par
\[ f(x)=2x+1. \]

Commençons par répondre aux deux questions.

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1. Calcul des valeurs de \(f\)

Pour calculer \(f(x)\) en un point donné, il suffit de remplacer \(x\) dans l’expression \(2x+1\).

• Pour \(x=0\) :

  \[ f(0)=2 \times 0+1=0+1=1. \]

• Pour \(x=-1\) :

  \[ f(-1)=2 \times (-1)+1=-2+1=-1. \]

• Pour \(x=1\) :

  \[ f(1)=2 \times 1+1=2+1=3. \]

• Pour \(x=-3\) :

  \[ f(-3)=2 \times (-3)+1=-6+1=-5. \]

• Pour \(x=3\) :

  \[ f(3)=2 \times 3+1=6+1=7. \]

Ainsi, nous avons : - \(f(0)=1\) - \(f(-1)=-1\) - \(f(1)=3\) - \(f(-3)=-5\) - \(f(3)=7\)

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2. Tracé du graphique de la fonction \(f\)

La fonction \(f(x)=2x+1\) est une fonction linéaire. Voici les étapes pour tracer son graphique :

a) Identifier le coefficient directeur et l’ordonnée à l’origine

• Coefficient directeur (\(m\)) :
  Le coefficient devant \(x\) est \(2\). Ce coefficient, appelé pente, indique que pour chaque unité que \(x\) augmente, \(f(x)\) augmente de 2 unités.

• Ordonnée à l’origine (\(b\)) :
  L’ordonnée à l’origine est le terme constant \(+1\). Cela signifie que le graphique coupe l’axe vertical au point \((0,1)\).

b) Tracer le point d’intersection sur l’axe \(y\)

Placez le point \((0,1)\) sur le graphique.

c) Utiliser la pente pour trouver un autre point

La pente \(2\) signifie que, depuis le point \((0,1)\), si vous avancez de \(1\) unité vers la droite sur l’axe \(x\), vous devez monter de \(2\) unités pour arriver au point suivant.
Ainsi, à partir de \((0,1)\), vous obtenez le point \((1,3)\).

d) Tracer une deuxième droite

Avec deux points, \((0,1)\) et \((1,3)\), tracez une droite passant par ces points. Cette droite représente le graphique de \(f\).

e) Vérifier avec d’autres points

Vous pouvez vérifier d’autres points que nous avons calculés : - \((-1,-1)\) - \((-3,-5)\) - \((3,7)\)

Ces points doivent tous se situer sur la même droite et se confirment avec la règle de calcul de la fonction \(f\).

Schéma du graphique

Voici une description du graphique :

• L’axe horizontal représente \(x\) et l’axe vertical représente \(f(x)\).
• La droite passe par \((0,1)\) (intersection avec l’axe \(y\)).
• En suivant la pente, vous pouvez tracer le point \((1,3)\) puis la droite qui relie tous les points précédemment calculés.

Si l’on devait dessiner, on aurait quelque chose de similaire à :

  |

7 | • (3,7) 6 |
5 |
4 |
3 | • (1,3) 2 |
1 | • (0,1) 0 |—————- -1 | • (-1,-1) -2 |
-3 | -4 |
-5 |• (-3,-5) |

Ainsi, le graphique de la fonction \(f\) est une droite qui monte de gauche à droite, avec une pente de 2 et une ordonnée à l’origine égale à 1.

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Conclusion

1. Les valeurs calculées sont :
   \[ f(0)=1,\quad f(-1)=-1,\quad f(1)=3,\quad f(-3)=-5,\quad f(3)=7. \]

2. Pour tracer le graphique de la fonction \(f(x)=2x+1\), on place le point d’intersection \((0,1)\) avec l’axe \(y\), puis on utilise la pente \(2\) pour trouver d’autres points (par exemple \((1,3)\)) et enfin on trace la droite passant par ces points.

Cette méthode vous permet de comprendre comment calculer des valeurs et représenter graphiquement une fonction linéaire.