Exercice 32
Exercice
Considérer l’application \(f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) définie par \[ f(x) = x - 1. \]
Représentez graphiquement cette application.
Réponse
La fonction f(x) = x – 1 se représente par une droite passant par (0, –1) et (1, 0) avec une pente égale à 1.
Corrigé détaillé
Nous avons la fonction \(f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) définie par
\[ f(x) = x - 1. \]
Voici les étapes détaillées pour représenter graphiquement cette application :
1. Reconnaître la forme de l’équation
La fonction est de la forme :
\[ y = ax + b, \]
où ici \(a = 1\) et \(b = -1\).
- \(a\) représente la pente (le
coefficient directeur) : ici, la droite monte d’une unité pour chaque
unité augmentée sur l’axe des \(x\).
- \(b\) représente l’ordonnée à
l’origine : ici, la droite coupe l’axe \(y\) en \((0,
-1)\).
2. Déterminer deux points importants
Pour tracer une droite, il suffit de connaître deux points.
Point d’intersection avec l’axe des ordonnées (lorsque \(x = 0\))
Calculons \(f(0)\) :
\[ f(0) = 0 - 1 = -1. \]
Le premier point est donc \((0, -1)\).
Point d’intersection avec l’axe des abscisses (lorsque \(y = 0\))
Pour trouver ce point, résolvons \(f(x) = 0\) :
\[ x - 1 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 1. \]
Le second point est donc \((1, 0)\).
3. Tracer la droite
- Préparez un repère (un système de coordonnées) avec un axe des \(x\) (horizontal) et un axe des \(y\) (vertical).
- Placez les points trouvés :
- \((0, -1)\) sur l’axe des ordonnées.
- \((1, 0)\) sur l’axe des abscisses.
- Tracez une droite passant par ces deux points.
4. Vérification de la pente
La droite a une pente \(a = 1\). Pour vérifier cela, entrez n’importe quel point supplémentaires. Par exemple, si \(x = 2\) :
\[ f(2) = 2 - 1 = 1, \]
ce qui donne le point \((2, 1)\). Ce point doit également se situer sur la droite tracée.
5. Représentation graphique finale
En résumé, la représentation graphique de \(f(x) = x - 1\) est une droite qui : - Passe par les points \((0, -1)\), \((1, 0)\) et \((2, 1)\). - A pour coefficient directeur \(1\).
Voici une représentation schématique :
plaintext y ↑ 2 | • (2,1) 1 | • |
y=-1 |• (0,-1)
|—————-→ x 0 1 2
Conclusion
La droite représentative de l’application \(f(x) = x - 1\) est une droite oblique qui coupe l’axe vertical en \((0, -1)\) et l’axe horizontal en \((1, 0)\). Cette droite a une pente de \(1\), c’est-à-dire qu’elle monte d’une unité pour chaque augmentation d’une unité sur l’axe \(x\).
Ainsi, vous avez bien tracé la représentation graphique de la fonction \(f(x) = x - 1\).