Exercice 31

Soit \(k : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) définie par \[ k(x) = 5. \]

1. Calculer \(k(0)\), \(k(-4)\) et \(k(1250)\).

2. Représenter graphiquement l’application \(k\).

Réponse

Réponse courte :

1. k(0) = 5, k(–4) = 5 et k(1250) = 5.

2. Le graphique de k est la droite horizontale d’équation y = 5.

Corrigé détaillé

Nous avons une fonction constante définie par \[ k(x) = 5 \quad \text{pour tout } x \in \mathbb{R}. \]

Voici la correction détaillée :

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1) Calculer \(k(0)\), \(k(-4)\) et \(k(1250)\)

Une fonction constante donne toujours la même valeur, peu importe la valeur de \(x\). Ici, la fonction est définie par
\[ k(x) = 5. \]

• Pour \(x = 0\) : \[ k(0) = 5. \]

• Pour \(x = -4\) : \[ k(-4) = 5. \]

• Pour \(x = 1250\) : \[ k(1250) = 5. \]

Donc, quelle que soit la valeur de \(x\) utilisée, le résultat est toujours \(5\).

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2) Représenter graphiquement l’application \(k\)

Le graphique d’une fonction constante est une droite horizontale. Dans notre cas, comme \(k(x) = 5\) pour tout \(x\), cela signifie que pour chaque abscisse \(x\), l’ordonnée correspondante est toujours \(5\).

Pour tracer ce graphique dans un repère orthonormé :

• Axe des abscisses (x) : On parcourt l’ensemble des nombres réels (on peut tracer une ligne horizontale).
• Axe des ordonnées (y) : On place le point \(y = 5\).

Ainsi, le graphique de la fonction \(k\) est la droite horizontale d’équation \[ y = 5. \]

Visuellement, cela donne :

plaintext y | 6 |—————- |
5 | —————> (Graphique de y=5) |
4 |—————- | +—————- x

Cette droite passe par tous les points dont la coordonnée en \(y\) est égale à \(5\), indépendamment de la valeur de \(x\).

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Conclusion

1. Nous avons trouvé :
   • \(k(0) = 5\)
   • \(k(-4) = 5\)
   • \(k(1250) = 5\)
2. Le graphique de l’application \(k\) est une droite horizontale située sur la ligne d’équation \(y = 5\).

Cette solution montre que la fonction est constante et que son graphique est une droite horizontale dans le plan.