Exercice 30

Soit l’application \(h : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) définie par \[ h(x) = -2x. \]

1. Calculer \(h(0)\), \(h(1)\), \(h(-1)\), \(h(2)\) et \(h(-2)\).

2. Représenter graphiquement l’application \(h\).

Réponse

La fonction h(x) = –2x donne h(0) = 0, h(1) = –2, h(–1) = 2, h(2) = –4 et h(–2) = 4. Sa représentation graphique est une droite passant par l’origine avec une pente de –2, donc décroissante.

Corrigé détaillé

Ci-dessous, nous proposons une correction détaillée de l’exercice.

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Exercice

Soit l’application \(h : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) définie par \[ h(x) = -2x. \]

1. Calcul des valeurs de \(h(x)\)

Nous allons calculer les images de plusieurs valeurs de \(x\) :

1. Calcul de \(h(0)\) :

   Nous remplaçons \(x\) par 0 dans la formule : \[ h(0) = -2 \times 0 = 0. \]

2. Calcul de \(h(1)\) :

   Remplaçons \(x\) par 1 : \[ h(1) = -2 \times 1 = -2. \]

3. Calcul de \(h(-1)\) :

   Remplaçons \(x\) par -1 : \[ h(-1) = -2 \times (-1) = 2. \] Ici, le produit de deux nombres négatifs est positif.

4. Calcul de \(h(2)\) :

   Remplaçons \(x\) par 2 : \[ h(2) = -2 \times 2 = -4. \]

5. Calcul de \(h(-2)\) :

   Remplaçons \(x\) par -2 : \[ h(-2) = -2 \times (-2) = 4. \]

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2. Représentation graphique de l’application \(h\)

L’expression \(h(x) = -2x\) représente une fonction linéaire. Nous pouvons observer les caractéristiques suivantes :

• Coefficient directeur (pente) :
  La pente est \(-2\). Cela signifie que pour chaque augmentation de 1 unité de \(x\), \(y\) diminue de 2 unités.

• Ordonnée à l’origine :
  La droite passe par l’origine, car \(h(0) = 0\).

a) Points notables à tracer

D’après les calculs précédents, nous avons les points suivants :

• \((0, 0)\)
• \((1, -2)\)
• \((-1, 2)\)
• \((2, -4)\)
• \((-2, 4)\)

b) Tracé de la droite

Pour tracer la droite représentant la fonction, procédez ainsi :

1. Placer le point \((0, 0)\) sur le plan cartésien.
2. Placer également les points \((1, -2)\) et \((-1, 2)\).
3. Relier ces points par une droite. Comme il s’agit d’une fonction linéaire, tous les points du plan qui vérifient \(y = -2x\) se trouvent sur cette droite.

La droite est donc décroissante, ce qui est cohérent avec le signe négatif du coefficient directeur.

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Conclusion

• \(h(0) = 0\)
• \(h(1) = -2\)
• \(h(-1) = 2\)
• \(h(2) = -4\)
• \(h(-2) = 4\)

La représentation graphique de l’application \(h(x) = -2x\) est une droite passant par l’origine et ayant une pente de \(-2\), ce qui signifie que la droite descend lorsqu’on se déplace vers la droite sur l’axe des \(x\).

Cette correction détaillée présente le calcul de chaque image et explique pas à pas comment obtenir la représentation graphique de l’application.