Exercice 29

Soit l’application \(g : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) définie par \[ g(x) = -x. \] Représentez cette application par un graphique.

Réponse

Réponse : Le graphique de g(x) = –x est une droite passant par l’origine (0,0) de pente –1, notamment par les points (1,–1) et (–1,1).

Corrigé détaillé

Voici une correction détaillée pour représenter graphiquement l’application \(g : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) définie par \[ g(x) = -x. \]

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Étape 1 : Comprendre la fonction

La fonction \(g(x) = -x\) est une fonction linéaire. Cela signifie qu’elle peut s’exprimer sous la forme générale : \[ g(x) = ax + b, \] où \(a\) est la pente et \(b\) l’ordonnée à l’origine. Dans notre cas : - La pente \(a\) est \(-1\). - L’ordonnée à l’origine \(b\) est \(0\).

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Étape 2 : Caractéristiques de la fonction

1. Ordonnée à l’origine :
   On calcule \(g(0)\) : \[ g(0) = -0 = 0. \] Le point \((0,0)\) appartient donc au graphique.

2. Pente de la droite :
   La pente \(-1\) indique que pour chaque augmentation d’une unité de \(x\), la valeur de \(g(x)\) diminue d’une unité.

3. Points supplémentaires :
   Pour mieux représenter le graphique, on peut calculer quelques points :

   • Pour \(x = 1\) : \[ g(1) = -1 \] Le point \((1,-1)\) appartient au graphique.
   • Pour \(x = -1\) : \[ g(-1) = -(-1) = 1 \] Le point \((-1,1)\) appartient également au graphique.

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Étape 3 : Tracer le graphique

1. Plan cartésien :
   Dessinez un repère avec un axe horizontal (axe des \(x\)) et un axe vertical (axe des \(y\)).

2. Placer les points :

   • Placez \((0,0)\).
   • Placez \((1,-1)\).
   • Placez \((-1,1)\).

3. Tracer la droite :
   Reliez ces points par une droite. Comme la fonction est linéaire, tous les points du graphe se trouvent sur cette droite.

4. Orientation de la droite :
   La droite passe par l’origine, a une pente négative et forme un angle de 135° avec l’axe positif des \(x\) (ou 45° avec l’axe négatif des \(x\)).

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Conclusion

Le graphique de la fonction \(g(x) = -x\) est une droite passant par l’origine \((0,0)\) et traversant les points \((1,-1)\) et \((-1,1)\). Le tracé montre bien la symétrie par rapport à l’origine, et la pente négative confirme que la droite décroît lorsque \(x\) augmente.

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Voici un schéma du graphique :

\[ \begin{array}{c} \text{Axe des } y \\ \uparrow \quad |\quad (-1,1) \\ \quad \quad | \quad (0,0) \rightarrow \text{Axe des } x \quad \rightarrow \quad (1,-1) \end{array} \]

Sur papier, il suffit de dessiner le repère, de marquer ces points, et de relier l’ensemble par une droite.

Cette représentation montre clairement la fonction \(g(x) = -x\).