Exercice 28

Soit \(f\) une application de \(\mathbb{R}\) dans \(\mathbb{R}\) définie par \[ f(x) = 3x. \]

1. Calculer \(f(0)\), \(f(-2)\), \(f(2)\), \(f(-4)\) et \(f(4)\).

2. Tracer le graphique de la fonction \(f\).

Réponse

f(0)=0, f(–2)=–6, f(2)=6, f(–4)=–12, f(4)=12. Le graphique de f(x)=3x est une droite passant par l’origine avec une pente de 3, passant par les points (–4,–12), (–2,–6), (0,0), (2,6) et (4,12).

Corrigé détaillé

Nous considérons la fonction linéaire \(f\) définie par \[ f(x) = 3x. \]

Voici la correction détaillée de l’exercice :

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1) Calcul de \(f(0)\), \(f(-2)\), \(f(2)\), \(f(-4)\) et \(f(4)\)

Pour calculer l’image de chaque valeur, il suffit de substituer \(x\) par cette valeur dans la formule \(f(x) = 3x\).

a) Calcul de \(f(0)\)

On remplace \(x\) par \(0\) : \[ f(0) = 3 \times 0 = 0. \]

b) Calcul de \(f(-2)\)

On remplace \(x\) par \(-2\) : \[ f(-2) = 3 \times (-2) = -6. \]

c) Calcul de \(f(2)\)

On remplace \(x\) par \(2\) : \[ f(2) = 3 \times 2 = 6. \]

d) Calcul de \(f(-4)\)

On remplace \(x\) par \(-4\) : \[ f(-4) = 3 \times (-4) = -12. \]

e) Calcul de \(f(4)\)

On remplace \(x\) par \(4\) : \[ f(4) = 3 \times 4 = 12. \]

Pour résumer, nous avons : - \(f(0) = 0\), - \(f(-2) = -6\), - \(f(2) = 6\), - \(f(-4) = -12\), - \(f(4) = 12\).

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2) Tracé du graphique de la fonction \(f\)

La fonction \(f(x) = 3x\) est une fonction linéaire de coefficient directeur \(3\). Voici les étapes pour tracer son graphique :

a) Caractéristiques du graphique

• Type de la fonction : C’est une droite.
• Ordonnée à l’origine : C’est la valeur de \(f(0)\). On a trouvé \(f(0)=0\), donc la droite passe par l’origine \((0, 0)\).
• Coefficient directeur (pente) : \(3\). Cela signifie que pour chaque augmentation de \(1\) unité en \(x\), la valeur de \(f(x)\) augmente de \(3\) unités.

b) Tracer des points et la droite

À partir des calculs précédents, quelques points à placer sur le repère sont : - Le point \((0,0)\). - Le point \((2,6)\) car \(f(2)=6\). - Le point \((-2,-6)\) car \(f(-2)=-6\). - Le point \((4,12)\) car \(f(4)=12\). - Le point \((-4,-12)\) car \(f(-4)=-12\).

c) Représentation graphique

1. Tracez un repère avec un axe horizontal (axe des abscisses, \(x\)) et un axe vertical (axe des ordonnées, \(y\)).
2. Placez les points obtenus : \((0, 0)\), \((2, 6)\), \((-2, -6)\), \((4, 12)\) et \((-4, -12)\).
3. Reliez ces points par une droite. Puisque tous ces points sont alignés (la relation est linéaire), la droite ainsi obtenue est le graphique de la fonction \(f\).

Illustration simple (schéma)

Voici un schéma simplifié du graphique (pour une représentation dans un repère) :

   |

12 | |
6 | |
0 |—————— | -6 |
| -12 |
——————– -4 -2 0 2 4

• Le point en haut à droite représente \((4,12)\).
• Le point en bas à gauche représente \((-4,-12)\).
• La droite passe par \((0,0)\), \((2,6)\) et \((-2,-6)\).

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En résumé :

1. Nous avons calculé les valeurs de la fonction :
   • \(f(0) = 0\)
   • \(f(-2) = -6\)
   • \(f(2) = 6\)
   • \(f(-4) = -12\)
   • \(f(4) = 12\)
2. Le graphique, une droite passant par l’origine de pente 3, passe par les points \((0,0)\), \((2,6)\), \((-2,-6)\), \((4,12)\) et \((-4,-12)\).

Cette correction permet de comprendre à la fois le calcul des valeurs d’une fonction linéaire et la représentation graphique d’une droite.