Exercice 27

Soit trois applications de \(\mathbb{R}\) dans \(\mathbb{R}\) définies de la manière suivante : - Pour obtenir l’image d’un nombre par la première application, on prend son opposé. - Pour obtenir l’image d’un nombre par \(m\), on prend son opposé puis on ajoute 2. - Pour obtenir l’image d’un nombre par \(n\), on ajoute 2 au nombre, puis on prend l’opposé de la somme.

1. Donner l’expression algébrique de la première application, de \(m\) et de \(n\).
2. Calculer :
   • l’image de \(-5\) par la première application,
   • \(m(-10)\),
   • \(m(4)\),
   • \(n(-10)\) et
   • \(n(4)\).

Réponse

Expressions des fonctions : • f(x) = –x
• m(x) = –x + 2
• n(x) = –(x + 2) = –x – 2

Calcul des images : • f(–5) = 5
• m(–10) = 12 et m(4) = –2
• n(–10) = 8 et n(4) = –6

Corrigé détaillé

Nous avons trois applications (fonctions) de \(\mathbb{R}\) dans \(\mathbb{R}\). Nous allons déterminer leur expression algébrique et ensuite calculer les images demandées.

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1. Expression algébrique des applications

a) Première application

L’énoncé nous indique que « pour obtenir l’image d’un nombre, on prend son opposé ».
Si \(x\) est un nombre réel, l’image de \(x\) est :

\[ f(x) = -x \]

b) Application \(m\)

Pour \(m\), l’exercice précise : « on prend son opposé puis on ajoute 2 ».
Cela signifie que, pour un nombre \(x\) :

1. On calcule d’abord l’opposé de \(x\), c’est-à-dire \(-x\).
2. Puis on ajoute 2 au résultat.

On a donc :

\[ m(x) = (-x) + 2 = -x + 2 \]

c) Application \(n\)

Pour \(n\), l’énoncé indique : « on ajoute 2 au nombre, puis on prend l’opposé de la somme ».
On procède ainsi :

1. On ajoute 2 à \(x\), ce qui donne \(x + 2\).
2. On prend ensuite l’opposé de cette somme.

L’expression est donc :

\[ n(x) = -(x+2) \]

On peut écrire cette expression sous une autre forme en développant le signe négatif :

\[ n(x) = -x - 2 \]

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2. Calcul des images

a) Image de \(-5\) par la première application

Pour \(x = -5\) et \(f(x) = -x\), on a :

\[ f(-5) = -(-5) = 5 \]

b) \(m(-10)\)

Utilisons \(m(x) = -x + 2\) avec \(x = -10\) :

\[ m(-10) = -(-10) + 2 = 10 + 2 = 12 \]

c) \(m(4)\)

Pour \(x = 4\) :

\[ m(4) = -(4) + 2 = -4 + 2 = -2 \]

d) \(n(-10)\)

Avec \(n(x) = -(x+2)\) et \(x = -10\) :

\[ n(-10) = -(-10+2) = -(-8) = 8 \]

e) \(n(4)\)

Pour \(x = 4\) :

\[ n(4) = -(4+2) = -6 \]

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Conclusion

Les expressions et calculs obtenus sont :

1. Expressions :
   • Première application : \(\boxed{f(x) = -x}\)
   • Application \(m\) : \(\boxed{m(x) = -x + 2}\)
   • Application \(n\) : \(\boxed{n(x) = -(x+2) = -x -2}\)
2. Calculs :
   • \(f(-5) = 5\)
   • \(m(-10) = 12\)
   • \(m(4) = -2\)
   • \(n(-10) = 8\)
   • \(n(4) = -6\)

Cette correction étape par étape permet de comprendre comment appliquer les opérations indiquées dans l’énoncé pour obtenir chaque résultat.