Exercice 26

Exercice

Soit \(i\), \(j\) et \(k\) des applications de \(\mathbb{R}\) dans \(\mathbb{R}\) définies de la manière suivante :

• Pour \(i\), l’image d’un nombre est sa valeur absolue.
• Pour \(j\), l’image d’un nombre est sa valeur absolue à laquelle on ajoute 3.
• Pour \(k\), l’image d’un nombre est obtenue en ajoutant 3 au nombre, puis en prenant la valeur absolue de la somme.

1. Donner l’expression algébrique de \(i\), \(j\) et \(k\).

2. Calculer \(i(4)\), \(i(-2)\), \(j(2)\), \(j(-7)\), \(k(2)\) et \(k(-7)\).

Réponse

Résumé :
Les fonctions sont définies par i(x) = |x|, j(x) = |x| + 3 et k(x) = |x + 3|.
On trouve :
i(4) = 4, i(–2) = 2, j(2) = 5, j(–7) = 10, k(2) = 5, k(–7) = 4.

Corrigé détaillé

Voici une correction détaillée de l’exercice.

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1) Expression algébrique des fonctions

Nous avons trois applications \(i\), \(j\) et \(k\) définies comme suit :

1. Pour \(i\) :
   L’image d’un nombre est sa valeur absolue.
   Expression :
   \[ i(x) = |x| \]

2. Pour \(j\) :
   L’image d’un nombre est obtenue en prenant d’abord sa valeur absolue, puis en ajoutant 3.
   Expression :
   \[ j(x) = |x| + 3 \]

3. Pour \(k\) :
   L’image d’un nombre se calcule en ajoutant 3 au nombre, puis en prenant la valeur absolue de la somme.
   Expression :
   \[ k(x) = |x + 3| \]

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2) Calcul des images pour certaines valeurs

Nous allons évaluer chacune des fonctions pour les valeurs données.

Calcul de \(i(4)\) et \(i(-2)\)

• \(i(4)\) :

  On applique la définition de \(i\): \[ i(4) = |4| \] Sachant que la valeur absolue de 4 est 4, nous avons : \[ i(4) = 4 \]

• \(i(-2)\) :

  On applique la définition de \(i\): \[ i(-2) = |-2| \] La valeur absolue de \(-2\) est 2, donc : \[ i(-2) = 2 \]

Calcul de \(j(2)\) et \(j(-7)\)

• \(j(2)\) :

  On applique la définition de \(j\): \[ j(2) = |2| + 3 \] Puisque \(|2| = 2\), on obtient : \[ j(2) = 2 + 3 = 5 \]

• \(j(-7)\) :

  On applique la définition de \(j\): \[ j(-7) = |-7| + 3 \] La valeur absolue de \(-7\) est 7, ainsi : \[ j(-7) = 7 + 3 = 10 \]

Calcul de \(k(2)\) et \(k(-7)\)

• \(k(2)\) :

  On applique la définition de \(k\): \[ k(2) = |2 + 3| \] Calculez d’abord la somme à l’intérieur de la valeur absolue : \[ 2 + 3 = 5 \] Puis, la valeur absolue de 5 est : \[ k(2) = |5| = 5 \]

• \(k(-7)\) :

  On applique la définition de \(k\): \[ k(-7) = |-7 + 3| \] Calculez la somme : \[ -7 + 3 = -4 \] La valeur absolue de \(-4\) est : \[ k(-7) = |-4| = 4 \]

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Réponses finales

1. Les expressions algébriques sont :
   \[ i(x) = |x|, \quad j(x) = |x| + 3, \quad k(x) = |x + 3| \]

2. Les calculs sont les suivants :
   \[ i(4) = 4,\quad i(-2) = 2,\quad j(2) = 5,\quad j(-7) = 10,\quad k(2) = 5,\quad k(-7) = 4. \]

Cette démarche détaillée permet de comprendre étape par étape comment obtenir ces résultats.