Exercice 20

Exercice

Soit l’application \(f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) définie par \[ f(x) = -x + 2. \]

1. Énoncer la règle permettant de trouver l’image d’un nombre par \(f\).
   
2. Calculer :
   1. \(f(4,5)\)
   2. \(f(-5)\)
   3. \(f(0,4)\)
   4. \(f(-0,1)\)
   5. \(f(14)\)
   6. \(f(-100)\)

Réponse

Réponse courte :

Pour tout nombre a, l’image par f est f(a) = –a + 2.

Les résultats sont : – f(4,5) = –2,5
– f(–5) = 7
– f(0,4) = 1,6
– f(–0,1) = 2,1
– f(14) = –12
– f(–100) = 102.

Corrigé détaillé

Voici la correction détaillée de l’exercice.

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Énoncé de l’application

L’application \(f\) est définie par : \[ f(x) = -x + 2. \]

1. Règle pour trouver l’image d’un nombre par \(f\)

Pour trouver l’image d’un nombre \(a\) par \(f\), il faut remplacer la variable \(x\) par \(a\) dans l’expression de \(f(x)\).
Autrement dit, l’image de \(a\) est obtenue en calculant : \[ f(a) = -a + 2. \]

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2. Calcul de quelques images

Nous allons calculer successivement les images pour différents nombres :

2.1 Calcul de \(f(4,5)\)

1. Remplacer \(x\) par \(4,5\) dans l’expression : \[ f(4,5) = -4,5 + 2. \]
2. Effectuer l’addition : \[ -4,5 + 2 = -2,5. \]

Donc : \[ f(4,5) = -2,5. \]

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2.2 Calcul de \(f(-5)\)

1. Remplacer \(x\) par \(-5\) : \[ f(-5) = -(-5) + 2. \]
2. Calculer \(-(-5)\) qui devient \(+5\) : \[ 5 + 2 = 7. \]

Donc : \[ f(-5) = 7. \]

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2.3 Calcul de \(f(0,4)\)

1. Remplacer \(x\) par \(0,4\) : \[ f(0,4) = -0,4 + 2. \]
2. Effectuer l’addition : \[ -0,4 + 2 = 1,6. \]

Donc : \[ f(0,4) = 1,6. \]

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2.4 Calcul de \(f(-0,1)\)

1. Remplacer \(x\) par \(-0,1\) : \[ f(-0,1) = -(-0,1) + 2. \]
2. Calculer \(-(-0,1)\) qui devient \(+0,1\) : \[ 0,1 + 2 = 2,1. \]

Donc : \[ f(-0,1) = 2,1. \]

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2.5 Calcul de \(f(14)\)

1. Remplacer \(x\) par \(14\) : \[ f(14) = -14 + 2. \]
2. Effectuer l’addition : \[ -14 + 2 = -12. \]

Donc : \[ f(14) = -12. \]

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2.6 Calcul de \(f(-100)\)

1. Remplacer \(x\) par \(-100\) : \[ f(-100) = -(-100) + 2. \]
2. Calculer \(-(-100)\) qui donne \(+100\), puis additionner : \[ 100 + 2 = 102. \]

Donc : \[ f(-100) = 102. \]

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Récapitulatif des réponses

1. Règle : Pour trouver l’image d’un nombre \(a\) par \(f\), on calcule \(f(a) = -a + 2\).
2. Calculs :
   • \(f(4,5) = -2,5\)
   • \(f(-5) = 7\)
   • \(f(0,4) = 1,6\)
   • \(f(-0,1) = 2,1\)
   • \(f(14) = -12\)
   • \(f(-100) = 102\)

Chaque étape consiste à remplacer \(x\) par le nombre donné puis à appliquer l’opération indiquée dans la fonction. Cette méthode permet de trouver rapidement l’image associée à n’importe quel nombre.