Exercice
Le 12 août 2007, le record du vol en montgolfière est établi par un pionnier de l’aéronautique. On considère l’extrémité d’une aile d’éolienne dont la longueur depuis le centre est de \(140\,\mathrm{cm}\).
Déterminez si, après un certain nombre de rotations, la distance parcourue par l’extrémité de l’aile se rapproche de la distance réalisée par la montgolfière lors de son record.
On rappelle qu’une rotation complète de l’aile correspond à une
distance de
\[
2\pi \times 140\ \mathrm{cm}.
\]
Exprimez la distance parcourue par l’extrémité en fonction du nombre de rotations et comparez-la avec la distance réalisée par la montgolfière.
La distance parcourue par l’extrémité de l’aile après n rotations est d(n) = 280π n (en cm). Pour égaler la distance d’un vol en montgolfière (Dmont), il faut que 280π n = Dmont, soit n = Dmont⁄(280π). Par exemple, si Dmont = 300 km, alors n ≈ 34 128 rotations.
Nous allons déterminer la distance parcourue par l’extrémité d’une aile d’éolienne lorsque celle-ci effectue \(n\) rotations et comparer cette distance avec celle réalisée par la montgolfière.
On nous indique que la longueur de l’aile (distance entre le centre
et l’extrémité) est de
\[
L = 140\,\mathrm{cm}.
\] Lorsqu’on effectue une rotation complète, l’extrémité parcourt
le périmètre du cercle de rayon \(140\,\mathrm{cm}\). Le périmètre d’un
cercle se calcule à l’aide de la formule \[
P = 2\pi L.
\] Ici, on obtient : \[
P = 2\pi \times 140\,\mathrm{cm} = 280\pi\,\mathrm{cm}.
\] Autrement dit, à chaque rotation complète, l’extrémité
effectue une distance de \(280\pi\,\mathrm{cm}\).
Si l’aile effectue \(n\) rotations, la distance totale parcourue par l’extrémité est donnée par le produit du nombre de rotations et de la distance parcourue en une rotation : \[ d(n) = n \times (280\pi)\,\mathrm{cm}. \] On peut donc écrire : \[ \boxed{d(n) = 280\pi\, n\quad \text{(en cm)}}. \]
On souhaite comparer \(d(n)\) avec la distance \(D_{\text{mont}}\) réalisée lors du vol record de la montgolfière. Même si la valeur exacte de \(D_{\text{mont}}\) n’est pas précisée dans l’énoncé, nous pouvons expliquer la démarche générale.
Pour que l’extrémité de l’aile parcoure une distance égale à celle réalisée par la montgolfière, il faudrait que : \[ 280\pi\, n = D_{\text{mont}}. \] D’où, en fonction de \(D_{\text{mont}}\), le nombre de rotations nécessaire est \[ n = \frac{D_{\text{mont}}}{280\pi}. \]
Exemple numérique :
Si, par hypothèse, la distance record du vol en montgolfière était de
\(300\,\mathrm{km}\), nous devons
d’abord convertir en centimètres.
Sachant que \[
1\,\mathrm{km} = 1000\,\mathrm{m} \quad \text{et} \quad 1\,\mathrm{m} =
100\,\mathrm{cm},
\] alors \[
300\,\mathrm{km} = 300 \times 1000\,\mathrm{m} = 300\,000\,\mathrm{m} =
300\,000 \times 100\,\mathrm{cm} = 30\,000\,000\,\mathrm{cm}.
\] Le nombre de rotations nécessaires est alors \[
n = \frac{30\,000\,000}{280\pi}.
\] On peut approcher : \[
n \approx \frac{30\,000\,000}{280 \times 3,14} \approx
\frac{30\,000\,000}{879,2} \approx 34\,128.
\] Cela signifie qu’environ \(34\,128\) rotations de l’éolienne
permettraient à l’extrémité de parcourir une distance similaire à celle
du vol en montgolfière considéré.
La distance parcourue par l’extrémité de l’aile d’éolienne est donnée par la formule \[ \boxed{d(n) = 280\pi\, n \quad \text{(en cm)}}. \] Pour obtenir une distance équivalente à celle réalisée par la montgolfière, il faudrait que le nombre de rotations vérifie l’égalité \[ 280\pi\, n = D_{\text{mont}}, \] ce qui, selon la valeur de \(D_{\text{mont}}\), nécessiterait un nombre considérable de rotations.
Ainsi, bien que l’extrémité d’une aile d’éolienne parcourt une distance non négligeable à chaque rotation, pour se rapprocher d’une distance aussi grande que celle du record du vol en montgolfière, il faudrait un nombre très élevé de rotations.