Exercice 8

Exercice

Sur une roue de vélo qui effectue une rotation complète en 90 secondes, étant donné le nombre \(t\) de secondes écoulées depuis le début du mouvement, déterminer l’angle \(\alpha\) parcouru par la roue. Donner l’expression fonctionnelle de \(\alpha\) en fonction de \(t\) et préciser si cette relation est proportionnelle.

Réponse

Réponse courte : Comme la roue effectue 360° en 90 s, elle tourne de 4° par seconde. Ainsi, l’angle parcouru est α(t) = 4t (avec t en secondes).

Corrigé détaillé

Voici la correction détaillée de l’exercice :


1. Comprendre la situation

On sait que la roue effectue une rotation complète en 90 secondes. Une rotation complète correspond à un angle de \(360^\circ\). Cela signifie que, lorsque \(t = 90\) secondes, la roue a parcouru un angle de \(360^\circ\).


2. Établir l’expression de l’angle

Nous recherchons l’expression de l’angle \(\alpha\) parcouru en fonction du temps \(t\). Si la roue parcourt \(360^\circ\) en 90 secondes, alors pour chaque seconde, l’angle parcouru est :

\[ \frac{360^\circ}{90 \text{ s}} = 4^\circ \text{ par seconde} \]

Ainsi, l’angle parcouru après \(t\) secondes est simplement :

\[ \alpha(t) = 4t \]

Ici, \(\alpha(t)\) est l’angle en degrés et \(t\) est le temps en secondes.


3. Vérification

Pour vérifier, nous remplaçons \(t\) par 90 secondes :

\[ \alpha(90) = 4 \times 90 = 360^\circ, \]

ce qui correspond bien à un tour complet.


4. Proportionnalité

La relation \(\alpha(t) = 4t\) est une relation de proportionnalité. En effet, il existe une constante de proportionnalité \(k = 4\) telle que :

\[ \alpha(t) = k \cdot t. \]

Cela signifie que pour chaque augmentation d’une seconde, l’angle augmente de \(4^\circ\) de manière strictement linéaire.


Conclusion

L’expression fonctionnelle de l’angle parcouru en fonction du temps \(t\) est :

\[ \boxed{\alpha(t) = 4t} \]

De plus, puisque \(\alpha(t)\) est obtenue en multipliant \(t\) par une constante, la relation est proportionnelle.


Ceci termine la correction de l’exercice.

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