\[ \textbf{Exercice} \]
Considérons les trois tableaux de valeurs suivants :
\[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline x & -3 & 0 & 2 & 5 \\ \hline y & 9 & 0 & 4 & 25 \\ \hline \end{array} \]
\[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline x & -4 & 0 & 4 & 8 \\ \hline y & -10 & 2 & 14 & 26 \\ \hline \end{array} \]
\[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline x & -3 & 0 & 3 & 7 \\ \hline y & 6 & 0 & -6 & -14 \\ \hline \end{array} \]
Représentez les couples de valeurs de chaque tableau sur un même repère.
Quel(s) tableau(x) peut (peuvent) représenter une situation de proportionnalité ?
Comment appelle-t-on ce type de fonctions ?
Réponse courte : a) Tableau 1 : points (-3;9), (0;0), (2;4), (5;25)
formant y = x² (courbe);
Tableau 2 : points (-4;-10), (0;2), (4;14), (8;26) formant y = 3x+2
(droite);
Tableau 3 : points (-3;6), (0;0), (3;-6), (7;-14) formant y = -2x
(droite).
b) Seul le tableau 3 est proportionnel (il passe par (0;0) et y/x = -2
constant).
c) Les fonctions de la forme y = kx s’appellent des fonctions
proportionnelles.
Nous allons détailler les réponses de l’exercice étape par étape.
On vous donne trois tableaux de valeurs :
\[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline x & -3 & 0 & 2 & 5 \\ \hline y & 9 & 0 & 4 & 25 \\ \hline \end{array} \]
\[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline x & -4 & 0 & 4 & 8 \\ \hline y & -10 & 2 & 14 & 26 \\ \hline \end{array} \]
\[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline x & -3 & 0 & 3 & 7 \\ \hline y & 6 & 0 & -6 & -14 \\ \hline \end{array} \]
Les questions sont :
Pour représenter les tableaux dans un repère :
Tableau 1 :
On place les points :
Observation : Si vous regardez ces points, vous pouvez remarquer que les valeurs \(y\) correspondent aux carrés de \(x\) (par exemple, \(9=(-3)^2\), \(0=0^2\), \(4=2^2\) et \(25=5^2\)). La représentation graphique donnera donc une courbe parabolique.
Tableau 2 :
On place les points :
Observation : En traçant ces points, on obtient des points alignés. Pour vérifier cela, on peut remarquer que lorsque \(x\) augmente régulièrement (par pas de 4), \(y\) augmente de 12 à chaque fois. La droite reliant ces points sera droite.
Tableau 3 :
On place les points :
Observation : Ici, la variation de \(y\) semble régulière également. En effet, entre \(-3\) et \(0\) (augmentation de 3) la variation de \(y\) est de \(6\) à \(0\) soit \(-6\), entre \(0\) et \(3\) c’est encore une variation de \(-6\) et sur l’intervalle de 3 ou 4 unités, la pente reste constante (calculée précisément ci-dessous). La droite passant par ces points sera droite.
Pour réaliser la représentation, tracez un repère avec un axe horizontal (axe \(x\)) et un axe vertical (axe \(y\)), et placez les points correspondants de chaque tableau en utilisant une couleur différente pour chaque tableau afin de les distinguer.
Une situation de proportionnalité doit vérifier deux conditions essentielles : 1. Le point d’origine \((0,0)\) doit faire partie de la relation. 2. La relation doit être linéaire de la forme \[ y = kx \] où \(k\) est la constante de proportionnalité (le même pour tous les points).
Examinons chacun des tableaux :
Tableau 1 :
On remarque que \(B(0;0)\) est présent,
mais la relation semble être \(y =
x^2\) puisque
\[
9 = (-3)^2,\quad 4 = 2^2,\quad 25 = 5^2.
\] Or \(y = x^2\) n’est pas une
relation de proportionnalité (ce n’est pas de la forme linéaire \(y = kx\)).
Tableau 2 :
Le point \(F(0;2)\) montre que lorsque
\(x = 0\), \(y = 2\). Pour être proportionnelle, il
faudrait que \(y = 0\) lorsque \(x = 0\). Cette condition n’est pas remplie.
Même si la relation est linéaire, elle ne correspond pas à une situation
de proportionnalité.
Tableau 3 :
Les points incluent \(J(0; 0)\). De
plus, nous pouvons vérifier la constance du rapport \(\dfrac{y}{x}\) pour chacun des points (en
ne prenant pas le point d’origine pour éviter la division par zéro)
:
La constante de proportionnalité est \(k =
-2\).
Conclusion : Seul le tableau 3
représente une situation de proportionnalité car il vérifie la condition
\(y = kx\) avec \(k = -2\).
Nous avons identifié dans nos analyses :
Réponse de la question c :
Les fonctions de la forme \(y = kx\)
sont appelées des fonctions proportionnelles.
a) Sur un même repère, tracez les points suivants :
b) Seul le tableau 3 représente
une situation de proportionnalité.
Pour ce tableau, le rapport \(\dfrac{y}{x}\) est constant et égal à \(-2\) (avec le point \((0,0)\)).
c) Les fonctions de type \(y = kx\) (comme celle du tableau 3) s’appellent fonctions proportionnelles.
Cette correction permet de comprendre étape par étape comment analyser les tableaux et déterminer le type de relation qui existe entre \(x\) et \(y\).