Exercice 6

Exercice

Soit une fonction linéaire \(f\) telle que \(f(7) = -2\). Sans déterminer explicitement le coefficient directeur, calculez : \[ f(14),\quad f(35),\quad f(0,07),\quad f(-14),\quad f(0),\quad f(35,07),\quad f(20,93),\quad f(84). \]

Réponse

Voici la synthèse très courte :

Comme f est linéaire et f(7) = –2, on a f(k·7) = k·(–2). Ainsi :

• f(14) = 2·(–2) = –4
• f(35) = 5·(–2) = –10
• f(0,07) = 0,01·(–2) = –0,02
• f(–14) = (–2)·(–2) = 4
• f(0) = 0
• f(35,07) = 5,01·(–2) = –10,02
• f(20,93) = 2,99·(–2) = –5,98
• f(84) = 12·(–2) = –24.

Corrigé détaillé

Nous avons une fonction linéaire \(f\) qui vérifie la propriété suivante : pour tous \(x\) et \(y\) et pour tout réel \(\lambda\),
\[ f(x+y)=f(x)+f(y) \quad \text{et} \quad f(\lambda x)=\lambda f(x). \] De plus, pour une fonction linéaire dans ce sens, on a toujours
\[ f(0)=0. \]

On nous donne
\[ f(7)=-2. \] L’idée est d’exprimer les arguments des valeurs demandées en fonction de \(7\). Autrement dit, si un nombre \(x\) s’écrit sous la forme \(x=k\cdot7\) pour un certain réel \(k\), alors
\[ f(k\cdot7)=k\,f(7) = k\cdot(-2). \]

Voyons cela étape par étape pour chaque valeur :


  1. Calcul de \(f(14)\)

    Nous remarquons que
    \[ 14 = 2\cdot7. \] Donc,
    \[ f(14)=f(2\cdot7)=2\,f(7)=2\cdot(-2)=-4. \]


  1. Calcul de \(f(35)\)

    On peut écrire
    \[ 35 = 5\cdot7. \] Ainsi,
    \[ f(35)=f(5\cdot7)=5\,f(7)=5\cdot(-2)=-10. \]


  1. Calcul de \(f(0,07)\)

    Ici, on reconnait que
    \[ 0,07 = 0,01\cdot7. \] Donc,
    \[ f(0,07)=f(0,01\cdot7)=0,01\,f(7)=0,01\cdot(-2)=-0,02. \]


  1. Calcul de \(f(-14)\)

    On a
    \[ -14 = -2\cdot7. \] Ainsi,
    \[ f(-14)=f(-2\cdot7)=-2\,f(7)=-2\cdot(-2)=4. \]


  1. Calcul de \(f(0)\)

    Par définition d’une fonction linéaire,
    \[ f(0)=0. \]


  1. Calcul de \(f(35,07)\)

    On cherche à écrire \(35,07\) comme un multiple de \(7\).
    On remarque que
    \[ 35,07 = 5,01\cdot7. \] Alors,
    \[ f(35,07)=f(5,01\cdot7)=5,01\,f(7)=5,01\cdot(-2)=-10,02. \]


  1. Calcul de \(f(20,93)\)

    De même, on exprime \(20,93\) sous la forme
    \[ 20,93 = 2,99\cdot7. \] Donc,
    \[ f(20,93)=f(2,99\cdot7)=2,99\,f(7)=2,99\cdot(-2)=-5,98. \]


  1. Calcul de \(f(84)\)

    Ici,
    \[ 84 = 12\cdot7. \] Par conséquent,
    \[ f(84)=f(12\cdot7)=12\,f(7)=12\cdot(-2)=-24. \]


Récapitulatif des résultats

\[ \begin{array}{ll} f(14) = -4, & f(35) = -10, \\ f(0,07) = -0,02, & f(-14) = 4, \\ f(0) = 0, & f(35,07)= -10,02, \\ f(20,93)= -5,98, & f(84) = -24. \end{array} \]

Chaque résultat a été obtenu en exprimant l’argument comme un multiple de \(7\) et en utilisant la propriété d’homogénéité des fonctions linéaires : \(f(k\cdot7)=k\,f(7)\).

Ainsi, nous avons la correction complète de l’exercice.

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