Exercice
Soit une fonction linéaire \(f\) telle que \(f(7) = -2\). Sans déterminer explicitement le coefficient directeur, calculez : \[ f(14),\quad f(35),\quad f(0,07),\quad f(-14),\quad f(0),\quad f(35,07),\quad f(20,93),\quad f(84). \]
Voici la synthèse très courte :
Comme f est linéaire et f(7) = –2, on a f(k·7) = k·(–2). Ainsi :
• f(14) = 2·(–2) = –4
• f(35) = 5·(–2) = –10
• f(0,07) = 0,01·(–2) = –0,02
• f(–14) = (–2)·(–2) = 4
• f(0) = 0
• f(35,07) = 5,01·(–2) = –10,02
• f(20,93) = 2,99·(–2) = –5,98
• f(84) = 12·(–2) = –24.
Nous avons une fonction linéaire \(f\) qui vérifie la propriété suivante :
pour tous \(x\) et \(y\) et pour tout réel \(\lambda\),
\[
f(x+y)=f(x)+f(y) \quad \text{et} \quad f(\lambda x)=\lambda f(x).
\] De plus, pour une fonction linéaire dans ce sens, on a
toujours
\[
f(0)=0.
\]
On nous donne
\[
f(7)=-2.
\] L’idée est d’exprimer les arguments des valeurs demandées en
fonction de \(7\). Autrement dit, si un
nombre \(x\) s’écrit sous la forme
\(x=k\cdot7\) pour un certain réel
\(k\), alors
\[
f(k\cdot7)=k\,f(7) = k\cdot(-2).
\]
Voyons cela étape par étape pour chaque valeur :
Calcul de \(f(14)\)
Nous remarquons que
\[
14 = 2\cdot7.
\] Donc,
\[
f(14)=f(2\cdot7)=2\,f(7)=2\cdot(-2)=-4.
\]
Calcul de \(f(35)\)
On peut écrire
\[
35 = 5\cdot7.
\] Ainsi,
\[
f(35)=f(5\cdot7)=5\,f(7)=5\cdot(-2)=-10.
\]
Calcul de \(f(0,07)\)
Ici, on reconnait que
\[
0,07 = 0,01\cdot7.
\] Donc,
\[
f(0,07)=f(0,01\cdot7)=0,01\,f(7)=0,01\cdot(-2)=-0,02.
\]
Calcul de \(f(-14)\)
On a
\[
-14 = -2\cdot7.
\] Ainsi,
\[
f(-14)=f(-2\cdot7)=-2\,f(7)=-2\cdot(-2)=4.
\]
Calcul de \(f(0)\)
Par définition d’une fonction linéaire,
\[
f(0)=0.
\]
Calcul de \(f(35,07)\)
On cherche à écrire \(35,07\) comme
un multiple de \(7\).
On remarque que
\[
35,07 = 5,01\cdot7.
\] Alors,
\[
f(35,07)=f(5,01\cdot7)=5,01\,f(7)=5,01\cdot(-2)=-10,02.
\]
Calcul de \(f(20,93)\)
De même, on exprime \(20,93\) sous
la forme
\[
20,93 = 2,99\cdot7.
\] Donc,
\[
f(20,93)=f(2,99\cdot7)=2,99\,f(7)=2,99\cdot(-2)=-5,98.
\]
Calcul de \(f(84)\)
Ici,
\[
84 = 12\cdot7.
\] Par conséquent,
\[
f(84)=f(12\cdot7)=12\,f(7)=12\cdot(-2)=-24.
\]
\[ \begin{array}{ll} f(14) = -4, & f(35) = -10, \\ f(0,07) = -0,02, & f(-14) = 4, \\ f(0) = 0, & f(35,07)= -10,02, \\ f(20,93)= -5,98, & f(84) = -24. \end{array} \]
Chaque résultat a été obtenu en exprimant l’argument comme un multiple de \(7\) et en utilisant la propriété d’homogénéité des fonctions linéaires : \(f(k\cdot7)=k\,f(7)\).
Ainsi, nous avons la correction complète de l’exercice.