Exercice 5

Exercice 1 : Représentation graphique de situations de déplacements

Représentez schématiquement, dans un même repère, les déplacements suivants en indiquant la position des personnes en fonction du temps :

  1. Alex vient de perdre un petit match de foot amical contre son ami Maxime. Il marche rapidement vers le parc, tandis que Maxime, qui se déplace en trottinette, arrive quelques minutes plus tôt.

  2. Claire quitte la maison en bus pour se rendre à son cours de musique. Arrivée à l’école, elle se rend compte qu’elle a oublié son instrument et repart à pied pour le récupérer.

  3. David se rend à la bibliothèque en vélo, passe quelques instants à lire, puis rentre directement chez lui sur le même itinéraire.

  4. Emma fait du roller pour aller rencontrer son groupe de bénévoles au centre communautaire. En chemin, elle accélère car elle souhaite arriver avant tout le monde.

  5. Maxime monte sur son skateboard pour rejoindre une rencontre sportive. Sur le parcours, il croise Claire, qui revient en marchant après avoir récupéré son instrument.

Exercice 2 : Représentation de fonctions

  1. Dans un même repère, représentez les fonctions suivantes et indiquez ce que vous observez : \[ f(x)=2x, \quad g(x)=2(x-3), \quad h(x)=2x-3, \quad i(x)=2x-6. \]

  2. Dans un autre repère, représentez les fonctions suivantes et indiquez ce que vous observez : \[ f(x)=x^2, \quad k(x)=3x^2, \quad m(x)=-x^2, \quad n(x)=-3x^2. \]

Réponse

Résumé très court :

Exercice 1 : On représente les déplacements sur un repère temps/position où la pente indique la vitesse. Les changements (retour, accélération ou pause) se traduisent par une modification de la pente ou une portion horizontale, et le croisement de deux courbes indique une rencontre.

Exercice 2 : Les fonctions linéaires f(x)=2x, h(x)=2x–3, g(x)=2x–6 et i(x)=2x–6 sont des droites parallèles décalées verticalement. Les fonctions quadratiques f(x)=x², k(x)=3x², m(x)=–x² et n(x)=–3x² sont des paraboles ayant toutes leur sommet en (0,0) dont l’écartement des branches dépend du coefficient multiplicateur.

Corrigé détaillé

Voici une solution détaillée en plusieurs parties. Nous allons traiter chacun des exercices en expliquant étape par étape la démarche pour obtenir la représentation graphique et les observations demandées.

Exercice 1 : Représentation graphique de situations de déplacements

Principe général :
Sur un repère, nous utiliserons l’axe horizontal pour représenter le temps (noté généralement \(t\)) et l’axe vertical pour représenter la position ou la distance (notée \(x\) ou « position ») par rapport à un point de référence (par exemple la maison, l’école, etc.). Chaque personne est représentée par une courbe (ou une droite si le mouvement est à vitesse constante) qui indique comment sa position évolue avec le temps.

Les déplacements décrits ci-dessous doivent être schématisés de manière qualitative (il ne s’agit pas d’un tracé à l’échelle exacte, mais d’une représentation simple permettant d’indiquer les différences de vitesse, d’itinéraire ou de retournement).

a) Déplacement d’Alex et Maxime

b) Déplacement de Claire

c) Déplacement de David

d) Déplacement d’Emma

e) Interaction entre Maxime et Claire

Exercice 2 : Représentation de fonctions

On considère ici deux séries de fonctions à représenter dans deux repères différents.

a) Représentation des fonctions linéaires

Les fonctions données sont : \[ f(x)=2x,\quad g(x)=2(x-3),\quad h(x)=2x-3,\quad i(x)=2x-6. \]

Étapes et observations :

  1. Fonction \(f(x)=2x\) :
    • Il s’agit d’une droite passant par l’origine \((0,0)\) avec une pente de 2.
    • Cela signifie que pour chaque unité d’augmentation de \(x\), \(y\) augmente de 2 unités.
  2. Fonction \(g(x)=2(x-3)\) :
    • On peut développer : \[ g(x)=2x-6. \]
    • Cette droite est parallèle à \(f(x)\) (puisqu’elle a la même pente, 2) mais décalée verticalement vers le bas de 6 unités (ou décalée horizontalement de 3 unités vers la droite dans la forme factorisée).
  3. Fonction \(h(x)=2x-3\) :
    • Il s’agit également d’une droite de pente 2, décalée verticalement par rapport à \(f(x)\) (décalage de \(-3\)).
  4. Fonction \(i(x)=2x-6\) :
    • On remarque que cette fonction est identique à \(g(x)\).
    • Ainsi, \(i(x)\) et \(g(x)\) représentent la même droite.

Ce que l’on observe :

b) Représentation des fonctions quadratiques

Les fonctions données sont : \[ f(x)=x^2,\quad k(x)=3x^2,\quad m(x)=-x^2,\quad n(x)=-3x^2. \]

Étapes et observations :

  1. Fonction \(f(x)=x^2\) :
    • C’est une parabole qui ouvre vers le haut.
    • Son sommet est à \((0,0)\) et la symétrie de la parabole se situe par rapport à l’axe vertical (axe des ordonnées).
  2. Fonction \(k(x)=3x^2\) :
    • C’est aussi une parabole ouvrant vers le haut mais « resserrée » (plus étroite) que \(f(x)\) car le coefficient 3 augmente la vitesse de montée.
    • Le sommet reste à \((0,0)\).
  3. Fonction \(m(x)=-x^2\) :
    • Ici, la parabole ouvre vers le bas (le signe négatif inverse la concavité).
    • Le sommet (point le plus haut) est à \((0,0)\).
  4. Fonction \(n(x)=-3x^2\) :
    • C’est une parabole qui ouvre vers le bas et qui est plus resserrée que \(m(x)\) en raison du coefficient 3.
    • Le sommet est également en \((0,0)\).

Ce que l’on observe :

Conclusion

Cette analyse étape par étape permet de comprendre comment représenter graphiquement des situations de déplacement ainsi que différentes fonctions et d’en extraire les caractéristiques principales.

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