Soit trois fonctions, notées \(f\), \(f_1\) et \(g\). Une seule d’entre elles n’est pas linéaire.
Indiquez laquelle.
Déterminez le coefficient multiplicateur des deux fonctions linéaires.
Les valeurs des fonctions sont données dans le tableau suivant : \[ \begin{array}{|c|c|c|} \hline f & f_1 & g \\ \hline f(0)=3 & f_1(1)=-2 & g(-3)=8 \\ \hline f(5)=15 & f_1(4)=4 & g(2)=-2 \\ \hline f(10)=30 & f_1(10)=16 & g(12)=-22 \\ \hline \end{array} \]
La fonction f n’est pas linéaire. Les fonctions linéaires f₁ et g ont des coefficients de 2 et -2 respectivement.
Nous souhaitons déterminer laquelle des trois fonctions \(f\), \(f_1\) et \(g\) n’est pas linéaire puis trouver le coefficient multiplicateur (ou pente) des deux fonctions linéaires.
1. Fonction \(f\) :
Les valeurs données de \(f\) sont : - \(f(0)=3\) - \(f(5)=15\) - \(f(10)=30\)
Pour qu’une fonction soit linéaire, le rapport entre la variation de \(y\) et la variation de \(x\) (c’est-à-dire la pente) doit être constant.
Calculons la pente entre \(x=0\) et \(x=5\) : \[ \text{Pente entre } 0 \text{ et } 5 = \frac{f(5)-f(0)}{5-0} = \frac{15-3}{5} = \frac{12}{5} = 2,4. \]
Calculons la pente entre \(x=5\) et \(x=10\) : \[ \text{Pente entre } 5 \text{ et } 10 = \frac{f(10)-f(5)}{10-5} = \frac{30-15}{5} = \frac{15}{5} = 3. \]
Les pentes obtenues ne sont pas égales (2,4 et 3).
Conclusion : La fonction \(f\) n’est pas linéaire.
2. Fonction \(f_1\) :
Les valeurs données de \(f_1\) sont : - \(f_1(1)=-2\) - \(f_1(4)=4\) - \(f_1(10)=16\)
Calculons la pente entre \(x=1\) et \(x=4\) : \[ \text{Pente} = \frac{4 - (-2)}{4-1} = \frac{4+2}{3} = \frac{6}{3} = 2. \]
Calculons la pente entre \(x=4\) et \(x=10\) : \[ \text{Pente} = \frac{16-4}{10-4} = \frac{12}{6} = 2. \]
Les deux calculs donnent la même pente (2).
Conclusion : La fonction \(f_1\) est linéaire et son coefficient
multiplicateur est \(2\).
3. Fonction \(g\) :
Les valeurs données de \(g\) sont : - \(g(-3)=8\) - \(g(2)=-2\) - \(g(12)=-22\)
Calculons la pente entre \(x=-3\) et \(x=2\) : \[ \text{Pente} = \frac{-2-8}{2-(-3)} = \frac{-10}{5} = -2. \]
Calculons la pente entre \(x=2\) et \(x=12\) : \[ \text{Pente} = \frac{-22-(-2)}{12-2} = \frac{-20}{10} = -2. \]
Les deux calculs donnent la même pente ( \(-2\) ).
Conclusion : La fonction \(g\) est linéaire et son coefficient
multiplicateur est \(-2\).
a) Quelle fonction n’est pas linéaire ?
D’après nos calculs, c’est la fonction \(f\) qui n’est pas linéaire.
b) Quels sont les coefficients multiplicateurs des fonctions linéaires ?
La fonction qui n’est pas linéaire est \(f\).
Les coefficients multiplicateurs sont : pour \(f_1\) \(2\) et pour \(g\) \(-2\).