Exercice 2

Exercice

Soient les fonctions \(f\), \(g\), \(h\) et \(j\) définies par :

\[ \begin{array}{|c|c|c|c|} \hline f(2)=14,\quad & g(2)=-6,\quad & h(2)=3,\quad & j(2)=9, \\ \hline f(-3)=-21,\quad & g(4)=-12,\quad & h(-1)=0,\quad & j(4)=13, \\ \hline f(6)=42,\quad & g(-5)=15,\quad & h(3)=8,\quad & j(-3)=-1, \\ \hline \end{array} \]

1. Identifiez la fonction qui n’est pas linéaire en justifiant votre réponse.
   
2. Déterminez l’expression fonctionnelle de chacune des fonctions.

Réponse

1. La fonction non linéaire est h.

2. Les expressions sont :
     f(x) = 7x,
     g(x) = –3x,
     h(x) = x² – 1,
     j(x) = 2x + 5.

Corrigé détaillé

Nous allons résoudre cet exercice en deux parties.

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Partie a) Identifier la fonction non linéaire

On vous donne trois points pour chacune des fonctions. Pour déterminer si une fonction est linéaire (de la forme \(f(x) = ax+b\)), il suffit de vérifier que le taux de variation (le quotient des différences) est constant entre tous les points donnés.

Pour \(f\)

Les trois points sont :
\[ (2, 14),\quad (-3, -21),\quad (6, 42) \]

1. Calculons le taux de variation entre \(x=2\) et \(x=-3\) : \[ \frac{14 - (-21)}{2 - (-3)} = \frac{35}{5} = 7. \]
2. Calculons le taux de variation entre \(x=-3\) et \(x=6\) : \[ \frac{42 - (-21)}{6 - (-3)} = \frac{63}{9} = 7. \]

Les taux de variation sont identiques (7). Donc, \(f\) est linéaire.

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Pour \(g\)

Les trois points sont :
\[ (2, -6),\quad (4, -12),\quad (-5, 15) \]

1. Entre \(x=2\) et \(x=4\) : \[ \frac{-12 - (-6)}{4-2} = \frac{-6}{2} = -3. \]
2. Entre \(x=4\) et \(x=-5\) : \[ \frac{15 - (-12)}{-5-4} = \frac{27}{-9} = -3. \]

Les taux de variation sont identiques (\(-3\)). Donc, \(g\) est linéaire.

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Pour \(h\)

Les trois points sont :
\[ (2, 3),\quad (-1, 0),\quad (3, 8) \]

1. Entre \(x=2\) et \(x=-1\) : \[ \frac{3-0}{2-(-1)} = \frac{3}{3} = 1. \]
2. Entre \(x=-1\) et \(x=3\) : \[ \frac{8-0}{3-(-1)} = \frac{8}{4} = 2. \]

Les taux de variation ne sont pas égaux (1 puis 2). Ainsi, \(h\) n’est pas linéaire.

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Pour \(j\)

Les trois points sont :
\[ (2, 9),\quad (4, 13),\quad (-3, -1) \]

1. Entre \(x=2\) et \(x=4\) : \[ \frac{13-9}{4-2} = \frac{4}{2} = 2. \]
2. Entre \(x=4\) et \(x=-3\) : \[ \frac{-1-13}{-3-4} = \frac{-14}{-7} = 2. \]

Les taux de variation sont identiques (2). Donc, \(j\) est linéaire.

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Conclusion Partie a) : La fonction qui n’est pas linéaire est \(h\).

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Partie b) Déterminer l’expression de chacune des fonctions

Nous allons trouver l’expression de chacune en utilisant la forme \(f(x)=ax+b\) pour les fonctions linéaires et, pour \(h\), nous chercherons une expression polynomiale (probablement un polynôme du second degré) étant donné que \(h\) n’est pas linéaire.

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Expression de \(f\)

On sait que \(f\) est linéaire et on a constaté que le taux de variation est \(a = 7\). On écrit : \[ f(x) = 7x + b. \] Utilisons un point pour déterminer \(b\). Avec \(f(2)=14\) : \[ 14 = 7 \times 2 + b \quad \Longrightarrow \quad 14 = 14 + b \quad \Longrightarrow \quad b = 0. \] Donc, \[ \boxed{f(x) = 7x.} \]

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Expression de \(g\)

La fonction \(g\) est linéaire avec taux de variation \(a = -3\). On écrit : \[ g(x) = -3x + b. \] Utilisons \(g(2)=-6\) : \[ -6 = -3 \times 2 + b \quad \Longrightarrow \quad -6 = -6 + b \quad \Longrightarrow \quad b = 0. \] Donc, \[ \boxed{g(x) = -3x.} \]

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Expression de \(j\)

La fonction \(j\) est linéaire avec taux de variation \(a = 2\). On a : \[ j(x) = 2x + b. \] Utilisons \(j(2)=9\) : \[ 9 = 2 \times 2 + b \quad \Longrightarrow \quad 9 = 4 + b \quad \Longrightarrow \quad b = 5. \] Ainsi, \[ \boxed{j(x) = 2x + 5.} \]

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Expression de \(h\)

Comme \(h\) n’est pas linéaire, nous chercherons une expression quadratique de la forme : \[ h(x)= ax^2+ bx+ c. \]

On dispose des trois conditions : 1. \(h(2)=3 \quad \Rightarrow \quad 4a+ 2b+ c= 3.\) 2. \(h(-1)=0 \quad \Rightarrow \quad a - b+ c= 0.\) 3. \(h(3)=8 \quad \Rightarrow \quad 9a+ 3b+ c= 8.\)

Procédons par étapes :

1. À partir de la condition (2), on peut exprimer \(c\) : \[ c = b - a. \]
2. Remplaçons \(c\) dans la condition (1) : \[ 4a+ 2b+ (b - a)= 3 \quad \Longrightarrow \quad (4a - a) + (2b+b)= 3 \quad \Longrightarrow \quad 3a+ 3b= 3. \] En simplifiant, on obtient : \[ a+ b= 1 \quad \Longrightarrow \quad b= 1 - a. \]
3. Remplaçons \(c\) et \(b\) dans la condition (3) : \[ 9a+ 3b+ (b - a)= 8. \] Remplaçons \(b= 1-a\) : \[ 9a+ 3(1-a)+ \bigl[(1-a) - a\bigr]=8. \] Développons : \[ 9a+ 3 - 3a+ 1 - a - a = 8. \] Regroupons les termes semblables : \[ (9a - 3a - a - a) + (3+1)= 8 \quad \Longrightarrow \quad 4a+ 4= 8. \] Résolvons pour \(a\) : \[ 4a= 8-4 \quad \Longrightarrow \quad 4a= 4 \quad \Longrightarrow \quad a= 1. \]
4. On déduit alors \(b\) : \[ b= 1-a= 1-1= 0. \]
5. Puis \(c\) : \[ c= b - a= 0-1= -1. \]

Ainsi, \[ \boxed{h(x) = x^2 - 1.} \]

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Réponse Finale

1. La fonction qui n’est pas linéaire est \(h\).
   
2. Les expressions fonctionnelles sont :

• \(f(x) = 7x\),
• \(g(x) = -3x\),
• \(h(x) = x^2 - 1\),
• \(j(x) = 2x + 5\).