Exercice 1

Soit les fonctions suivantes :

  1. \(a : x \mapsto 2x^2\)
  2. \(b : x \mapsto -x\)
  3. \(c : x \mapsto 6x^2 + 5\)
  4. \(d : x \mapsto 80x\)
  5. \(e : x \mapsto 10x\)
  6. \(f : x \mapsto -x^2 + 2\)
  7. \(g : x \mapsto 9\)
  8. \(h : x \mapsto -5x^2\)
  9. \(i : x \mapsto 3x + 4\)
  10. \(j : x \mapsto \frac{x}{8}\)
  11. \(k : x \mapsto -2x\)
  12. \(l : x \mapsto x + 0{,}4\)
  13. \(m : x \mapsto 0{,}6\)
  14. \(n : x \mapsto \frac{1}{12}\)
  15. \(o : x \mapsto 5 + 4x\)
  16. \(p : x \mapsto 4x + \frac{1}{8}\)

Répondez aux questions suivantes :

  1. Quelles fonctions admettent une représentation graphique sous forme d’une droite ?

  2. Parmi ces fonctions, lesquelles sont linéaires ?

  3. Quelles fonctions sont constantes ?

  4. Quelles fonctions sont affines ?

Réponse

  1. Fonctions dont le graphe est une droite : b, d, e, i, j, k, l, o, p, g, m, n.
  2. Fonctions linéaires (de la forme ax) : b, d, e, j, k.
  3. Fonctions constantes : g, m, n.
  4. Fonctions affines (de la forme ax+b avec a≠0) : b, d, e, i, j, k, l, o, p.

Corrigé détaillé

Nous allons analyser chacune des fonctions afin de répondre précisément aux questions posées.

Rappel sur les définitions

  1. Représentation sous forme d’une droite :
    Une fonction dont l’expression est du type
    \[ f(x)=ax+b \] où \(a\) et \(b\) sont des réels, possède pour graphe une droite (les fonctions constantes donnent une droite horizontale).

  2. Fonction linéaire :
    Par définition, une fonction linéaire est de la forme
    \[ f(x)=ax \] c’est-à-dire sans terme constant. On demandera donc que \(b=0\).

  3. Fonction constante :
    Ce sont des fonctions qui ne dépendent pas de \(x\); elles s’expriment par
    \[ f(x)= k \quad \text{(avec } k \text{ constant)}. \]

  4. Fonction affine :
    Ce sont des fonctions de la forme
    \[ f(x)=ax+b \] avec \(a\) et \(b\) réels. En pratique, une fonction affine peut être linéaire (lorsque \(b=0\)) ou non linéaire (lorsque \(b\neq0\)). (Certaines définitions excluent le cas constant, mais ici nous considérerons toute fonction pouvant s’écrire sous cette forme.)

Fonctions proposées

Nous reprenons les fonctions données :

  1. \(a : x \mapsto 2x^2\)
    → Expression quadratique.

  2. \(b : x \mapsto -x\)
    → S’écrit sous la forme \(-x + 0\).

  3. \(c : x \mapsto 6x^2+5\)
    → Expression quadratique.

  4. \(d : x \mapsto 80x\)
    → S’écrit sous la forme \(80x+0\).

  5. \(e : x \mapsto 10x\)
    → S’écrit sous la forme \(10x+0\).

  6. \(f : x \mapsto -x^2+2\)
    → Expression quadratique.

  7. \(g : x \mapsto 9\)
    → Fonction constante : \(9\).

  8. \(h : x \mapsto -5x^2\)
    → Expression quadratique.

  9. \(i : x \mapsto 3x+4\)
    → Expression de degré 1 (affine).

  10. \(j : x \mapsto \frac{x}{8}\)
    → S’écrit \(\frac{1}{8}x+0\).

  11. \(k : x \mapsto -2x\)
    → S’écrit \(-2x+0\).

  12. \(l : x \mapsto x+0{,}4\)
    → S’écrit \(1x+0{,}4\).

  13. \(m : x \mapsto 0{,}6\)
    → Fonction constante.

  14. \(n : x \mapsto \frac{1}{12}\)
    → Fonction constante.

  15. \(o : x \mapsto 5+4x\)
    → S’écrit \(4x+5\).

  16. \(p : x \mapsto 4x+\frac{1}{8}\)
    → Expression affine.

a) Fonctions admettant une représentation graphique sous forme d’une droite

Pour que le graphe d’une fonction soit une droite, l’expression doit être de la forme \(ax+b\). Ainsi, parmi nos fonctions, celles qui ont cette forme sont :

De plus, les fonctions constantes ont pour graphe une droite horizontale :

Réponse (a) :
Les fonctions dont le graphe est une droite sont :
\[ b,\ d,\ e,\ i,\ j,\ k,\ l,\ o,\ p,\ g,\ m,\ n. \]

b) Fonctions linéaires

Une fonction linéaire est de la forme \(f(x)=ax\) (c’est-à-dire avec un terme constant nul). Parmi nos fonctions, celles qui s’écrivent exactement comme \(ax+0\) sont :

Réponse (b) :
Les fonctions linéaires sont :
\[ b,\ d,\ e,\ j,\ k. \]

c) Fonctions constantes

Une fonction constante ne dépend pas de \(x\). Ainsi, nous avons :

Réponse (c) :
Les fonctions constantes sont :
\[ g,\ m,\ n. \]

d) Fonctions affines

Une fonction affine est de la forme \(f(x)=ax+b\) (c’est-à-dire une fonction linéaire éventuellement décalée). Parmi nos fonctions, celles qui s’écrivent sous la forme \(ax+b\) (avec éventuellement \(b\neq0\)) sont :

On peut remarquer que les fonctions constantes sont parfois incluses dans l’ensemble des fonctions affines (on aurait \(a=0\)). Toutefois, dans de nombreux contextes, lorsqu’on parle de fonctions affines, on écrit souvent \(a \neq 0\). Ici, nous considérerons que les fonctions ayant l’expression \(ax+b\) avec \(a\) éventuellement nul sont affines.
Selon cette convention, les fonctions constantes (\(g\), \(m\) et \(n\)) peuvent être vues aussi comme des fonctions affines (avec \(a=0\)).
Cependant, d’après la classification usuelle dans les exercices de niveau collège, on distingue généralement : - Fonctions linéaires (affines avec \(b=0\)) : \(b,\, d,\, e,\, j,\, k\) - Fonctions affines non linéaires (c’est-à-dire avec \(b\neq0\)) : \(i,\, l,\, o,\, p\)

Réponse (d) :
Les fonctions affines (de degré 1) sont :
\[ b,\ d,\ e,\ i,\ j,\ k,\ l,\ o,\ p. \]

(Optionnellement, on peut considérer que les fonctions constantes \(g,\ m,\ n\) sont aussi affines, mais ici nous retiendrons la classification commune où une fonction affine est de degré 1, c’est-à-dire avec un coefficient devant \(x\) non nul.)

Récapitulatif des réponses

Cette démarche permet de classer chacune des fonctions en fonction de leur expression algébrique et de leur représentation graphique.

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