Exercice 14

Exercice

1. Mise en évidence
   Effectuer la mise en évidence dans les expressions suivantes :
   1. \(24x^3 + 15x^2y\)
      
   2. \(10x^4y - 14x^2y^2\)
      
   3. \(6xy + 3y^2\)
      
   4. \(20x^2 - 32x^3\)
2. Résolution d’équations
   Résoudre oralement les équations des exercices 551 à 561.

Réponse

Réponse très courte :

• Mise en évidence :   – 24x³ + 15x²y = 3x²(8x + 5y)   – 10x⁴y – 14x²y² = 2x²y(5x² – 7y)   – 6xy + 3y² = 3y(2x + y)   – 20x² – 32x³ = 4x²(5 – 8x)

• Résolution d’équation (exemple) :   De 2x(3x – 4) = 0, on obtient x = 0 ou 3x – 4 = 0, c’est-à-dire x = 4⁄3.

Corrigé détaillé

Voici une correction détaillée pour chacune des parties de l’exercice.

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1. Mise en évidence

Pour chaque expression, il s’agit de relever le facteur commun (c’est-à-dire le plus grand diviseur commun) aux deux termes, puis de réécrire l’expression en le mettant en évidence.

a) \(24x^3 + 15x^2y\)

1. Coefficients :
   Les nombres sont 24 et 15. Leur plus grand diviseur commun est 3, car
   \[ \gcd(24, 15) = 3. \]

2. Variables :

   • Les deux termes contiennent la variable \(x\). Dans le premier, \(x^3\) et dans le second \(x^2\). Le plus petit exposant est 2, donc on peut mettre \(x^2\) en facteur.
     
   • La variable \(y\) n’est présente que dans le second terme, donc elle ne se met pas en facteur commun.

3. Résultat :
   On écrit alors : \[ 24x^3 + 15x^2y = 3x^2 \left( \frac{24x^3}{3x^2} + \frac{15x^2y}{3x^2} \right) = 3x^2 (8x + 5y). \]

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b) \(10x^4y - 14x^2y^2\)

1. Coefficients :
   Les coefficients 10 et 14 ont pour plus grand diviseur commun 2 : \[ \gcd(10, 14) = 2. \]

2. Variables :

   • Pour \(x\) : On a \(x^4\) et \(x^2\) dans les deux termes. On met donc \(x^2\) (le plus petit exposant) en évidence.
     
   • Pour \(y\) : Le premier terme comporte \(y\) et le second \(y^2\). On met le facteur \(y\) commun, celui-ci ayant l’exposant 1.

3. Résultat :
   On écrit : \[ 10x^4y - 14x^2y^2 = 2x^2y \left( \frac{10x^4y}{2x^2y} - \frac{14x^2y^2}{2x^2y} \right) = 2x^2y (5x^2 - 7y). \]

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c) \(6xy + 3y^2\)

1. Coefficients :
   Les coefficients 6 et 3 ont pour plus grand diviseur commun 3.

2. Variables :

   • Le premier terme contient \(x\) et \(y\) et le second, uniquement \(y\). Le seul facteur commun entre les deux termes est \(y\).

3. Résultat :
   On met 3 et \(y\) en facteur : \[ 6xy + 3y^2 = 3y \left( \frac{6xy}{3y} + \frac{3y^2}{3y} \right) = 3y (2x + y). \]

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d) \(20x^2 - 32x^3\)

1. Coefficients :
   Les nombres 20 et 32 ont pour plus grand diviseur commun 4: \[ \gcd(20, 32) = 4. \]

2. Variables :

   • On note que \(x^2\) est commun aux deux termes (car \(x^2\) et \(x^3\) permettent de mettre \(x^2\) en évidence).

3. Résultat :
   On factorise : \[ 20x^2 - 32x^3 = 4x^2 \left( \frac{20x^2}{4x^2} - \frac{32x^3}{4x^2} \right) = 4x^2 (5 - 8x). \]

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2. Résolution d’équations (exercices 551 à 561)

Les exercices 551 à 561 concernent la résolution d’équations. Même si les énoncés exacts ne sont pas fournis ici, nous allons expliquer oralement la méthode générale que l’on peut suivre pour résoudre ce type d’équation.

Méthode générale de résolution par la mise en évidence et utilisation du « produit nul »

1. Isoler et mettre en évidence un facteur commun :
   Lorsque vous avez une équation, par exemple sous la forme : \[ ax(bx + c) = 0, \] la première étape consiste à mettre en évidence un facteur commun ou à réécrire l’équation de façon factorisée.

2. Utiliser le principe du produit nul :
   Si un produit de facteurs est égal à zéro, alors au moins l’un des facteurs doit être égal à zéro.
   Dans notre exemple, l’équation se décompose en deux cas :

   • \(ax = 0\)
     
   • \(bx + c = 0\)

3. Résoudre chaque équation obtenue :

   • Pour \(ax = 0\), on divise par \(a\) (en supposant que \(a \neq 0\)) pour obtenir \(x = 0\).
   • Pour \(bx + c = 0\), on isole \(x\) en soustrayant \(c\) des deux côtés puis en divisant par \(b\) (avec \(b \neq 0\)) : \[ bx = -c \quad \Rightarrow \quad x = -\frac{c}{b}. \]

4. Vérifier les solutions éventuelles :
   Il est toujours utile de remplacer les solutions dans l’équation initiale pour s’assurer qu’elles satisfont bien l’équation.

Exemple illustratif

Prenons une équation type : \[ 2x(3x - 4) = 0. \]

• Étape 1 : L’expression est déjà factorisée.

• Étape 2 : On applique le principe du produit nul :
  \(2x = 0\) ou \(3x - 4 = 0\).

• Étape 3 :

  • Dans le premier cas, \(2x = 0\) donne \(x = 0\).
    
  • Dans le second cas, \(3x - 4 = 0\) conduit à : \[ 3x = 4 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{4}{3}. \]

• Étape 4 : Vérification rapide
  Pour \(x = 0\) :
  \[ 2 \times 0 \times (3 \times 0 - 4) = 0, \] ce qui est vrai.
  Pour \(x = \frac{4}{3}\) :
  \[ 2 \times \frac{4}{3} \times \left(3 \times \frac{4}{3} - 4\right) = \frac{8}{3} \times \left(4 - 4\right) = \frac{8}{3} \times 0 = 0. \] Les deux solutions sont donc correctes.

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Conclusion

• Pour la mise en évidence, nous avons écrit :
  • \(24x^3 + 15x^2y = 3x^2 (8x + 5y)\)
  • \(10x^4y - 14x^2y^2 = 2x^2y (5x^2 - 7y)\)
  • \(6xy + 3y^2 = 3y (2x + y)\)
  • \(20x^2 - 32x^3 = 4x^2 (5 - 8x)\)
• Pour la résolution des équations (exercices 551 à 561), la méthode consiste à factoriser l’équation, appliquer la règle du produit nul pour obtenir plusieurs équations plus simples, puis résoudre chaque équation obtenue. Cette démarche vous permettra de trouver les valeurs de la variable qui satisfont l’équation initiale.

Cette approche détaillée vous donne toutes les étapes nécessaires pour comprendre et appliquer ces méthodes de manière claire et structurée.