Exercice 13

Exercice : Mise en évidence

Factorisez chacune des expressions suivantes en mettant en évidence le facteur commun lorsque cela est possible :

\(10x^{2}y + 4xy\)
\(-6x^{3} + 9x^{2}y + 15x^{2}\)
\(2x^{2} - 5xy + 3y^{2}\)
\(60a^{4} + 24a^{2}b - 48a^{3}\)
\(16a^{2} + 15a^{3} - 10\)
\(2x^{3}y - 5x^{2}y^{2}\)

Réponse

Voici la synthèse des réponses :

2xy(5x + 2)
3x²(–2x + 3y + 5)
(2x – 3y)(x – y)
12a²(5a² – 4a + 2b)
16a² + 15a³ – 10 (pas de facteur commun)
x²y(2x – 5y)

Corrigé détaillé

Voici la correction détaillée de chaque expression.

1) Factoriser \(10x^2y + 4xy\)

Étape 1 – Identifier le facteur commun :
Les deux termes contiennent \(xy\). De plus, on remarque que les coefficients 10 et 4 ont 2 comme diviseur commun.

Étape 2 – Mettre en évidence le facteur commun :
On factorise \(2xy\) : \[ 10x^2y + 4xy = 2xy\Bigl(\frac{10x^2y}{2xy} + \frac{4xy}{2xy}\Bigr) = 2xy(5x + 2). \]

Résultat :
\[ \boxed{2xy(5x + 2)} \]

2) Factoriser \(-6x^3 + 9x^2y + 15x^2\)

Étape 1 – Identifier le facteur commun :
Tous les termes contiennent \(x^2\) et les coefficients \(-6\), 9 et 15 ont 3 comme diviseur commun.

Étape 2 – Extraire le facteur commun :
On factorise \(3x^2\) : \[ -6x^3 + 9x^2y + 15x^2 = 3x^2\Bigl(\frac{-6x^3}{3x^2} + \frac{9x^2y}{3x^2} + \frac{15x^2}{3x^2}\Bigr) = 3x^2(-2x + 3y + 5). \]

Résultat :
\[ \boxed{3x^2(-2x + 3y + 5)} \]

3) Factoriser \(2x^2 - 5xy + 3y^2\)

Étape 1 – Reconnaître une expression quadratique :
L’expression se présente sous la forme : \[ Ax^2 + Bxy + Cy^2 \quad \text{avec} \quad A=2,\; B=-5,\; C=3. \]

Étape 2 – Chercher deux facteurs qui donnent les bons produits et sommes :
Nous souhaitons écrire : \[ 2x^2 - 5xy + 3y^2 = (2x - 3y)(x - y). \]

Vérification :
En développant \((2x - 3y)(x - y)\), on obtient : \[ 2x \cdot x = 2x^2, \] \[ 2x \cdot (-y) = -2xy, \] \[ -3y \cdot x = -3xy, \] \[ -3y \cdot (-y) = 3y^2. \] Or, \(-2xy - 3xy = -5xy\).
L’expression se réécrit donc bien en : \[ 2x^2 - 5xy + 3y^2. \]

Résultat :
\[ \boxed{(2x - 3y)(x - y)} \]

4) Factoriser \(60a^4 + 24a^2b - 48a^3\)

Étape 1 – Identifier le facteur commun :
Les coefficients 60, 24 et -48 ont 12 comme diviseur commun. Pour les variables, chaque terme contient au moins \(a^2\).

Étape 2 – Extraire le facteur commun :
On met en évidence \(12a^2\) : \[ 60a^4 + 24a^2b - 48a^3 = 12a^2\Bigl(\frac{60a^4}{12a^2} + \frac{24a^2b}{12a^2} - \frac{48a^3}{12a^2}\Bigr). \] Calculons chaque terme : \[ \frac{60a^4}{12a^2} = 5a^2, \quad \frac{24a^2b}{12a^2} = 2b, \quad \frac{-48a^3}{12a^2} = -4a. \] Ainsi, \[ 60a^4 + 24a^2b - 48a^3 = 12a^2(5a^2 - 4a + 2b). \]

Résultat :
\[ \boxed{12a^2(5a^2 - 4a + 2b)} \]

5) Factoriser \(16a^2 + 15a^3 - 10\)

Observation :
Pour mettre en évidence un facteur commun, il faut qu’il soit présent dans tous les termes.
- Le premier terme \(16a^2\) et le deuxième \(15a^3\) contiennent \(a\), mais le terme constant \(-10\) n’en contient pas.
- Les coefficients 16, 15 et -10 n’ont pas non plus de diviseur commun autre que 1.

Conclusion :
Aucun facteur commun non trivial ne peut être extrait de cette expression.

Résultat :
L’expression ne présente pas de facteur commun pouvant être mis en évidence.
\[ \boxed{16a^2 + 15a^3 - 10 \quad \text{(déjà sous forme développée)}} \]

6) Factoriser \(2x^3y - 5x^2y^2\)

Étape 1 – Identifier le facteur commun :
Les deux termes contiennent \(x^2y\).

Étape 2 – Extraire le facteur commun :
On factorise \(x^2y\) : \[ 2x^3y - 5x^2y^2 = x^2y\Bigl(\frac{2x^3y}{x^2y} - \frac{5x^2y^2}{x^2y}\Bigr) = x^2y(2x - 5y). \]

Résultat :
\[ \boxed{x^2y(2x - 5y)} \]

Ces étapes permettent de comprendre la démarche pour identifier et extraire le facteur commun dans chaque expression.