Exercice 11

Exercice : Mise en évidence

Factorisez les expressions suivantes :

1. \(\,6x^3+6x^2-2x\,\)

2. \(\,5x^4-2x^3\,\)

3. \(\,56x+24y\,\)

4. \(\,12x^3+12x^2y-48x^2\,\)

5. \(\,8x^3-20x^2\,\)

6. \(\,3x^5+2x^4+7x^3\,\)

Réponse

1. 6x³ + 6x² – 2x = 2x(3x² + 3x – 1)
   
2. 5x⁴ – 2x³ = x³(5x – 2)
   
3. 56x + 24y = 8(7x + 3y)
   
4. 12x³ + 12x²y – 48x² = 12x²(x + y – 4)
   
5. 8x³ – 20x² = 4x²(2x – 5)
   
6. 3x⁵ + 2x⁴ + 7x³ = x³(3x² + 2x + 7)

Corrigé détaillé

Voici la correction détaillée en français.

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Exercice : Mise en évidence

Nous allons factoriser chacune des expressions en recherchant le facteur commun (numérique et/ou littéral) dans chaque terme.

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1) Factoriser \(6x^3 + 6x^2 - 2x\)

Étape 1 : Identifier le facteur commun

Les trois termes ont en commun le nombre \(2\) et la variable \(x\). En effet,
- \(6x^3 = 2x \times 3x^2\),
- \(6x^2 = 2x \times 3x\),
- \(-2x = 2x \times (-1)\).

Étape 2 : Mettre en évidence le facteur commun

On factorise en extrayant \(2x\) :

\[ 6x^3 + 6x^2 - 2x = 2x\,(3x^2 + 3x - 1) \]

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2) Factoriser \(5x^4 - 2x^3\)

Étape 1 : Identifier le facteur commun

Les deux termes contiennent la variable \(x^3\) car \(x^3\) est le plus petit exposant commun.
- \(5x^4 = x^3 \times 5x\),
- \(-2x^3 = x^3 \times (-2)\).

Étape 2 : Mettre en évidence le facteur commun

En extrayant \(x^3\), on obtient :

\[ 5x^4 - 2x^3 = x^3\,(5x - 2) \]

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3) Factoriser \(56x + 24y\)

Étape 1 : Identifier le facteur commun

Ici, on recherche d’abord le facteur numérique commun.
Les coefficients 56 et 24 ont un diviseur commun : \(8\) (car \(56 = 8 \times 7\) et \(24 = 8 \times 3\)).
Il n’y a pas de variable commune, puisque le premier terme a \(x\) et le second \(y\).

Étape 2 : Mettre en évidence le facteur commun

On extrait \(8\) :

\[ 56x + 24y = 8\,(7x + 3y) \]

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4) Factoriser \(12x^3 + 12x^2y - 48x^2\)

Étape 1 : Identifier le facteur commun

Examinons chaque terme :
- Les coefficients 12, 12 et -48 ont pour diviseur commun 12.
- Les variables : le plus petit exposant pour \(x\) est \(x^2\) (présent dans tous les termes).

Étape 2 : Mettre en évidence le facteur commun

En extrayant \(12x^2\), nous écrivons :

\[ \begin{aligned} 12x^3 &= 12x^2 \times x, \\ 12x^2y &= 12x^2 \times y, \\ -48x^2 &= 12x^2 \times (-4). \end{aligned} \]

On obtient donc :

\[ 12x^3 + 12x^2y - 48x^2 = 12x^2\,(x + y - 4) \]

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5) Factoriser \(8x^3 - 20x^2\)

Étape 1 : Identifier le facteur commun

Pour le nombre, le plus grand diviseur commun de 8 et 20 est 4.
Pour les variables, chaque terme possède au moins \(x^2\).

Étape 2 : Mettre en évidence le facteur commun

On extrait \(4x^2\) :

\[ \begin{aligned} 8x^3 &= 4x^2 \times 2x, \\ -20x^2 &= 4x^2 \times (-5). \end{aligned} \]

La factorisation devient :

\[ 8x^3 - 20x^2 = 4x^2\,(2x - 5) \]

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6) Factoriser \(3x^5 + 2x^4 + 7x^3\)

Étape 1 : Identifier le facteur commun

Chaque terme contient la variable \(x\) et le plus petit exposant présent est \(x^3\).
- \(3x^5 = x^3 \times 3x^2\),
- \(2x^4 = x^3 \times 2x\),
- \(7x^3 = x^3 \times 7\).

Étape 2 : Mettre en évidence le facteur commun

On extrait \(x^3\) :

\[ 3x^5 + 2x^4 + 7x^3 = x^3\,(3x^2 + 2x + 7) \]

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Résumé des factorisations

1. \(6x^3 + 6x^2 - 2x = 2x\,(3x^2 + 3x - 1)\)

2. \(5x^4 - 2x^3 = x^3\,(5x - 2)\)

3. \(56x + 24y = 8\,(7x + 3y)\)

4. \(12x^3 + 12x^2y - 48x^2 = 12x^2\,(x + y - 4)\)

5. \(8x^3 - 20x^2 = 4x^2\,(2x - 5)\)

6. \(3x^5 + 2x^4 + 7x^3 = x^3\,(3x^2 + 2x + 7)\)

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Chaque expression a été factorisée en mettant en évidence le facteur commun dans chaque terme. Ce procédé est très utile pour simplifier les expressions et préparer d’éventuelles résolutions d’équations.