Exercice 10

Factorisez chaque expression en mettant en évidence un monôme :

\(\displaystyle 6x^2 + 4x + x^2\)
\(\displaystyle 28b^3 - 24b^2 + 32b\)
\(\displaystyle 24a + 60a^3 - 48a^2\)
\(\displaystyle 15x^3 + 45x^2 + 30x^4\)
\(\displaystyle 32a^4 - 32a^2 - 40a^3\)
\(\displaystyle -48b^4 + 12b^5 - 42b^3\)

Réponse

Voici la réponse résumée :

6x² + 4x + x² = x(7x + 4)
28b³ – 24b² + 32b = 4b(7b² – 6b + 8)
24a + 60a³ – 48a² = 12a(5a² – 4a + 2)
15x³ + 45x² + 30x⁴ = 15x²(2x² + x + 3)
32a⁴ – 32a² – 40a³ = 8a²(4a² – 5a – 4)
–48b⁴ + 12b⁵ – 42b³ = 6b³(2b² – 8b – 7)

Corrigé détaillé

Nous allons factoriser chacune des expressions en mettant en évidence un monôme commun. Cela signifie que nous cherchons le plus grand facteur (en nombre et en puissance de la variable) que l’on peut extraire de tous les termes de l’expression.

1) Factorisation de \(\displaystyle 6x^2 + 4x + x^2\)

Étape 1 : Regrouper les termes semblables

On remarque que deux termes contiennent \(x^2\) : \(6x^2\) et \(x^2\). On peut les combiner.
\[ 6x^2 + x^2 = 7x^2. \] L’expression devient alors : \[ 7x^2 + 4x. \]

Étape 2 : Identifier le monôme commun

Les deux termes contiennent la variable \(x\).
- Pour le coefficient, le plus grand diviseur commun de \(7\) et \(4\) est \(1\).
- Pour la variable, le plus petit exposant est \(1\) (dans \(4x\)).

Ainsi, le monôme commun est \(x\).

Étape 3 : Factoriser l’expression

En mettant \(x\) en évidence, on fait : \[ 7x^2 + 4x = x\left(7x + 4\right). \]

2) Factorisation de \(\displaystyle 28b^3 - 24b^2 + 32b\)

Étape 1 : Identifier le monôme commun

Variables : Chaque terme contient \(b\) (le plus petit exposant étant \(1\)).
Coefficients :
- \(28\) se décompose en \(2 \times 2 \times 7\).
- \(24\) se décompose en \(2 \times 2 \times 2 \times 3\).
- \(32\) se décompose en \(2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2\).
  Le plus grand diviseur commun est \(4\).

Le monôme commun est donc \(4b\).

Étape 2 : Factoriser l’expression

Divisons chaque terme par \(4b\) : \[ \frac{28b^3}{4b} = 7b^2,\quad \frac{-24b^2}{4b} = -6b,\quad \frac{32b}{4b} = 8. \] Nous pouvons écrire : \[ 28b^3 - 24b^2 + 32b = 4b\left(7b^2 - 6b + 8\right). \]

3) Factorisation de \(\displaystyle 24a + 60a^3 - 48a^2\)

Étape 1 : Réécrire en ordre décroissant (facultatif)

Il est souvent plus simple de factoriser après avoir réarrangé par ordre de degrés décroissants : \[ 60a^3 - 48a^2 + 24a. \]

Étape 2 : Identifier le monôme commun

Variables : Tous les termes contiennent au moins \(a\) (le plus petit exposant est \(1\)).
Coefficients :
- \(60\) se décompose en \(2^2 \times 3 \times 5\).
- \(48\) se décompose en \(2^4 \times 3\).
- \(24\) se décompose en \(2^3 \times 3\).
  Le plus grand diviseur commun est \(12\).

Le monôme commun est donc \(12a\).

Étape 3 : Factoriser l’expression

Divisons chaque terme par \(12a\) : \[ \frac{60a^3}{12a} = 5a^2,\quad \frac{-48a^2}{12a} = -4a,\quad \frac{24a}{12a} = 2. \] On obtient : \[ 60a^3 - 48a^2 + 24a = 12a\left(5a^2 - 4a + 2\right). \] Donc, \[ 24a + 60a^3 - 48a^2 = 12a\left(5a^2 - 4a + 2\right). \]

4) Factorisation de \(\displaystyle 15x^3 + 45x^2 + 30x^4\)

Étape 1 : Réorganiser les termes (optionnel)

Pour faciliter la lecture, on peut écrire l’expression par ordre décroissant de degré : \[ 30x^4 + 15x^3 + 45x^2. \]

Étape 2 : Identifier le monôme commun

Variables : Chaque terme contient \(x^2\) au minimum (le plus petit exposant est \(2\)).
Coefficients :
- Le coefficient de \(30\), \(15\) et \(45\) a pour diviseur commun \(15\) (car \(15\) divise chacun d’eux).

Le monôme commun est donc \(15x^2\).

Étape 3 : Factoriser l’expression

Divisons chaque terme par \(15x^2\) : \[ \frac{30x^4}{15x^2} = 2x^2,\quad \frac{15x^3}{15x^2} = x,\quad \frac{45x^2}{15x^2} = 3. \] On obtient : \[ 30x^4 + 15x^3 + 45x^2 = 15x^2\left(2x^2 + x + 3\right). \] Ainsi, \[ 15x^3 + 45x^2 + 30x^4 = 15x^2\left(2x^2 + x + 3\right). \]

5) Factorisation de \(\displaystyle 32a^4 - 32a^2 - 40a^3\)

Étape 1 : Réorganiser les termes par degré décroissant

On peut écrire : \[ 32a^4 - 40a^3 - 32a^2. \]

Étape 2 : Identifier le monôme commun

Variables : Tous les termes contiennent au moins \(a^2\) (le plus petit exposant est \(2\)).
Coefficients :
- \(32\), \(40\) et \(32\) ont pour diviseur commun \(8\) (puisque \(32=8\times 4\), \(40=8\times 5\), et \(32=8\times 4\)).

Le monôme commun est donc \(8a^2\).

Étape 3 : Factoriser l’expression

Divisons chaque terme par \(8a^2\) : \[ \frac{32a^4}{8a^2} = 4a^2,\quad \frac{-40a^3}{8a^2} = -5a,\quad \frac{-32a^2}{8a^2} = -4. \] On obtient : \[ 32a^4 - 40a^3 - 32a^2 = 8a^2\left(4a^2 - 5a - 4\right). \]

6) Factorisation de \(\displaystyle -48b^4 + 12b^5 - 42b^3\)

Étape 1 : Réorganiser les termes

Il est souvent plus clair de mettre le terme de plus haut degré en premier : \[ 12b^5 - 48b^4 - 42b^3. \]

Étape 2 : Identifier le monôme commun

Variables : Chaque terme contient \(b^3\) (le plus petit exposant est \(3\)).
Coefficients :
- Les coefficients \(12\), \(48\) et \(42\) ont pour diviseur commun \(6\) (puisque \(12 = 6\times 2\), \(48 = 6\times 8\) et \(42 = 6\times 7\)).

Le monôme commun est donc \(6b^3\).

Étape 3 : Factoriser l’expression

Divisons chaque terme par \(6b^3\) : \[ \frac{12b^5}{6b^3} = 2b^2,\quad \frac{-48b^4}{6b^3} = -8b,\quad \frac{-42b^3}{6b^3} = -7. \] On obtient : \[ 12b^5 - 48b^4 - 42b^3 = 6b^3\left(2b^2 - 8b - 7\right). \] Ainsi, \[ -48b^4 + 12b^5 - 42b^3 = 6b^3\left(2b^2 - 8b - 7\right). \]

Récapitulatif des réponses

\(\displaystyle 6x^2 + 4x + x^2 = x\left(7x + 4\right)\).
\(\displaystyle 28b^3 - 24b^2 + 32b = 4b\left(7b^2 - 6b + 8\right)\).
\(\displaystyle 24a + 60a^3 - 48a^2 = 12a\left(5a^2 - 4a + 2\right)\).
\(\displaystyle 15x^3 + 45x^2 + 30x^4 = 15x^2\left(2x^2 + x + 3\right)\).
\(\displaystyle 32a^4 - 32a^2 - 40a^3 = 8a^2\left(4a^2 - 5a - 4\right)\).
\(\displaystyle -48b^4 + 12b^5 - 42b^3 = 6b^3\left(2b^2 - 8b - 7\right)\).

Chaque correction a été faite en identifiant le facteur commun (monôme) avant de simplifier chaque terme. Cette méthode est très utile pour simplifier les expressions algébriques de manière efficace.