Exercice 9

Exercice : Mise en évidence d’un monôme

Factorisez chacune des expressions suivantes en mettant en évidence un monôme commun :

1. \(4a^2 - 6a\)
   
2. \(15b + 21b^2\)
   
3. \(10x^2 + 45x\)
   
4. \(6b - 8b^2\)
   
5. \(48y^2 + 28y\)
   
6. \(30a - 45a^2\)
   
7. \(42x^2 - 48x\)
   
8. \(24y + 40y^2\)
   
9. \(175a - 225a^2\)
   
10. \(110b^3 + 170b^2\)
    
11. \(48x^2 + 108x^3\)
    
12. \(75b^2 - 105b^3\)

Réponse

1. 4a² – 6a = 2a(2a – 3)
   
2. 15b + 21b² = 3b(5 + 7b)
   
3. 10x² + 45x = 5x(2x + 9)
   
4. 6b – 8b² = 2b(3 – 4b)
   
5. 48y² + 28y = 4y(12y + 7)
   
6. 30a – 45a² = 15a(2 – 3a)
   
7. 42x² – 48x = 6x(7x – 8)
   
8. 24y + 40y² = 8y(3 + 5y)
   
9. 175a – 225a² = 25a(7 – 9a)
   
10. 110b³ + 170b² = 10b²(11b + 17)
    
11. 48x² + 108x³ = 12x²(4 + 9x)
    
12. 75b² – 105b³ = 15b²(5 – 7b)

Corrigé détaillé

Voici la correction détaillée pour chaque expression en mettant en évidence un monôme commun :

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1) Factoriser \(4a^2 - 6a\)

Étape 1 : Identifier le monôme commun

• Pour la variable : chaque terme contient \(a\).
  
• Pour les coefficients : les nombres 4 et 6 sont tous deux divisibles par 2.

Étape 2 : Réécrire l’expression en factorisant

On peut écrire : \[ 4a^2 - 6a = 2a(2a) - 2a(3) = 2a(2a - 3) \]

Résultat : \[ 4a^2 - 6a = 2a(2a - 3) \]

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2) Factoriser \(15b + 21b^2\)

Étape 1 : Identifier le monôme commun

• Pour la variable : chaque terme contient \(b\).
  
• Pour les coefficients : \(\gcd(15,\,21) = 3\).

Étape 2 : Réécrire l’expression en factorisant

On écrit : \[ 15b + 21b^2 = 3b(5) + 3b(7b) = 3b(5 + 7b) \]

Résultat : \[ 15b + 21b^2 = 3b(5 + 7b) \]

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3) Factoriser \(10x^2 + 45x\)

Étape 1 : Identifier le monôme commun

• Pour la variable : chaque terme contient \(x\).
  
• Pour les coefficients : \(\gcd(10,\,45) = 5\).

Étape 2 : Réécrire l’expression en factorisant

On a : \[ 10x^2 + 45x = 5x(2x) + 5x(9) = 5x(2x + 9) \]

Résultat : \[ 10x^2 + 45x = 5x(2x + 9) \]

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4) Factoriser \(6b - 8b^2\)

Étape 1 : Identifier le monôme commun

• Pour la variable : chaque terme contient \(b\).
  
• Pour les coefficients : \(\gcd(6,\,8) = 2\).

Étape 2 : Réécrire l’expression en factorisant

On écrit : \[ 6b - 8b^2 = 2b(3) - 2b(4b) = 2b(3 - 4b) \]

Résultat : \[ 6b - 8b^2 = 2b(3 - 4b) \]

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5) Factoriser \(48y^2 + 28y\)

Étape 1 : Identifier le monôme commun

• Pour la variable : chaque terme contient \(y\).
  
• Pour les coefficients : \(\gcd(48,\,28) = 4\).

Étape 2 : Réécrire l’expression en factorisant

On a : \[ 48y^2 + 28y = 4y(12y) + 4y(7) = 4y(12y + 7) \]

Résultat : \[ 48y^2 + 28y = 4y(12y + 7) \]

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6) Factoriser \(30a - 45a^2\)

Étape 1 : Identifier le monôme commun

• Pour la variable : chaque terme contient \(a\).
  
• Pour les coefficients : \(\gcd(30,\,45) = 15\).

Étape 2 : Réécrire l’expression en factorisant

On écrit : \[ 30a - 45a^2 = 15a(2) - 15a(3a) = 15a(2 - 3a) \]

Résultat : \[ 30a - 45a^2 = 15a(2 - 3a) \]

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7) Factoriser \(42x^2 - 48x\)

Étape 1 : Identifier le monôme commun

• Pour la variable : chaque terme contient \(x\).
  
• Pour les coefficients : \(\gcd(42,\,48) = 6\).

Étape 2 : Réécrire l’expression en factorisant

On a : \[ 42x^2 - 48x = 6x(7x) - 6x(8) = 6x(7x - 8) \]

Résultat : \[ 42x^2 - 48x = 6x(7x - 8) \]

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8) Factoriser \(24y + 40y^2\)

Étape 1 : Identifier le monôme commun

• Pour la variable : chaque terme contient \(y\).
  
• Pour les coefficients : \(\gcd(24,\,40) = 8\).

Étape 2 : Réécrire l’expression en factorisant

On écrit : \[ 24y + 40y^2 = 8y(3) + 8y(5y) = 8y(3 + 5y) \]

Résultat : \[ 24y + 40y^2 = 8y(3 + 5y) \]

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9) Factoriser \(175a - 225a^2\)

Étape 1 : Identifier le monôme commun

• Pour la variable : chaque terme contient \(a\).
  
• Pour les coefficients : on remarque que \(175 = 25 \times 7\) et \(225 = 25 \times 9\). Ainsi, \(\gcd(175,\,225) = 25\).

Étape 2 : Réécrire l’expression en factorisant

On a : \[ 175a - 225a^2 = 25a(7) - 25a(9a) = 25a(7 - 9a) \]

Résultat : \[ 175a - 225a^2 = 25a(7 - 9a) \]

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10) Factoriser \(110b^3 + 170b^2\)

Étape 1 : Identifier le monôme commun

• Pour la variable : chaque terme contient \(b^2\) (le plus petit exposant est 2).
  
• Pour les coefficients : \(\gcd(110,\,170) = 10\).

Étape 2 : Réécrire l’expression en factorisant

On écrit : \[ 110b^3 + 170b^2 = 10b^2(11b) + 10b^2(17) = 10b^2(11b + 17) \]

Résultat : \[ 110b^3 + 170b^2 = 10b^2(11b + 17) \]

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11) Factoriser \(48x^2 + 108x^3\)

Étape 1 : Identifier le monôme commun

• Pour la variable : chaque terme contient \(x^2\) (le plus petit exposant est 2).
  
• Pour les coefficients : on cherche le plus grand diviseur commun de 48 et 108. La décomposition en facteurs premiers est :
  • \(48 = 2^4 \times 3\)
    
  • \(108 = 2^2 \times 3^3\)
    Le pgcd est \(2^2 \times 3 = 4 \times 3 = 12\).

Étape 2 : Réécrire l’expression en factorisant

On a : \[ 48x^2 + 108x^3 = 12x^2(4) + 12x^2(9x) = 12x^2(4 + 9x) \]

Résultat : \[ 48x^2 + 108x^3 = 12x^2(4 + 9x) \]

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12) Factoriser \(75b^2 - 105b^3\)

Étape 1 : Identifier le monôme commun

• Pour la variable : chaque terme contient \(b^2\) (le plus petit exposant est 2).
  
• Pour les coefficients :
  • \(75 = 3 \times 5^2\)
    
  • \(105 = 3 \times 5 \times 7\)
    Ainsi, \(\gcd(75,\,105) = 3 \times 5 = 15\).

Étape 2 : Réécrire l’expression en factorisant

On écrit : \[ 75b^2 - 105b^3 = 15b^2(5) - 15b^2(7b) = 15b^2(5 - 7b) \]

Résultat : \[ 75b^2 - 105b^3 = 15b^2(5 - 7b) \]

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Chaque expression a été factorisée en mettant en évidence le monôme commun, ce qui simplifie l’expression et permet de reconnaître rapidement la structure des termes.