Exercice 8

Exercice : Mise en évidence d’un monôme

1. \(2a^2 + 3a\)
2. \(5b + 8b^2\)
3. \(4x^2 - 3x\)
4. \(15y + 4y^2\)
5. \(2a^2 + a\)
6. \(b - b^2\)
7. \(4a^3 + 5a^2\)
8. \(2b^2 - 3b^3\)
9. \(15x^4 + 7x^2\)
10. \(8a^3 - 5a\)
11. \(12b^5 - 5b^3\)
12. \(4a^3 + 2a - 5a^2\)

Réponse

Réponses synthétiques :

1. 2a² + 3a = a(2a + 3)
   
2. 5b + 8b² = b(5 + 8b)
   
3. 4x² – 3x = x(4x – 3)
   
4. 15y + 4y² = y(15 + 4y)
   
5. 2a² + a = a(2a + 1)
   
6. b – b² = b(1 – b)
   
7. 4a³ + 5a² = a²(4a + 5)
   
8. 2b² – 3b³ = b²(2 – 3b)
   
9. 15x⁴ + 7x² = x²(15x² + 7)
   
10. 8a³ – 5a = a(8a² – 5)
    
11. 12b⁵ – 5b³ = b³(12b² – 5)
    
12. 4a³ + 2a – 5a² = a(4a² – 5a + 2)

En résumé, pour chaque expression, on identifie le monôme commun en prenant la plus petite puissance de la variable présente, puis on le met en facteur.

Corrigé détaillé

Voici la correction détaillée de chaque mise en évidence d’un monôme :

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1. Expression : \(2a^2 + 3a\)

Étape 1 : Identifier le facteur commun

Les deux termes contiennent la variable \(a\).
- Dans \(2a^2\), la puissance de \(a\) est 2.
- Dans \(3a\), la puissance de \(a\) est 1.

Le facteur commun est donc \(a\) (la plus petite puissance).

Étape 2 : Factorisation

On factorise en mettant \(a\) en facteur :
\[ 2a^2 + 3a = a\left(2a + 3\right) \]

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2. Expression : \(5b + 8b^2\)

Étape 1 : Identifier le facteur commun

Les deux termes contiennent la variable \(b\).
- Dans \(5b\), la puissance de \(b\) est 1.
- Dans \(8b^2\), la puissance de \(b\) est 2.

Le facteur commun est \(b\).

Étape 2 : Factorisation

\[ 5b + 8b^2 = b\left(5 + 8b\right) \]

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3. Expression : \(4x^2 - 3x\)

Étape 1 : Identifier le facteur commun

Les deux termes contiennent la variable \(x\).
- Dans \(4x^2\), la puissance de \(x\) est 2.
- Dans \(-3x\), la puissance de \(x\) est 1.

Le facteur commun est \(x\).

Étape 2 : Factorisation

\[ 4x^2 - 3x = x\left(4x - 3\right) \]

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4. Expression : \(15y + 4y^2\)

Étape 1 : Identifier le facteur commun

Les deux termes contiennent la variable \(y\).
- Dans \(15y\), la puissance de \(y\) est 1.
- Dans \(4y^2\), la puissance de \(y\) est 2.

Le facteur commun est \(y\).

Étape 2 : Factorisation

\[ 15y + 4y^2 = y\left(15 + 4y\right) \]

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5. Expression : \(2a^2 + a\)

Étape 1 : Identifier le facteur commun

Les deux termes contiennent la variable \(a\).
- Dans \(2a^2\), la puissance de \(a\) est 2.
- Dans \(a\), la puissance de \(a\) est 1.

Le facteur commun est \(a\).

Étape 2 : Factorisation

\[ 2a^2 + a = a\left(2a + 1\right) \]

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6. Expression : \(b - b^2\)

Étape 1 : Identifier le facteur commun

Les deux termes contiennent la variable \(b\).
- Dans \(b\), la puissance de \(b\) est 1.
- Dans \(-b^2\), la puissance de \(b\) est 2.

Le facteur commun est \(b\).

Étape 2 : Factorisation

\[ b - b^2 = b\left(1 - b\right) \]

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7. Expression : \(4a^3 + 5a^2\)

Étape 1 : Identifier le facteur commun

Les deux termes contiennent la variable \(a\).
- Dans \(4a^3\), la puissance est 3.
- Dans \(5a^2\), la puissance est 2.

Le facteur commun est \(a^2\) (la plus petite puissance).

Étape 2 : Factorisation

\[ 4a^3 + 5a^2 = a^2\left(4a + 5\right) \]

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8. Expression : \(2b^2 - 3b^3\)

Étape 1 : Identifier le facteur commun

Les deux termes contiennent \(b\).
- Dans \(2b^2\), la puissance de \(b\) est 2.
- Dans \(-3b^3\), la puissance est 3.

Le facteur commun est \(b^2\).

Étape 2 : Factorisation

\[ 2b^2 - 3b^3 = b^2\left(2 - 3b\right) \]

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9. Expression : \(15x^4 + 7x^2\)

Étape 1 : Identifier le facteur commun

Les deux termes contiennent \(x\).
- Dans \(15x^4\), la puissance est 4.
- Dans \(7x^2\), la puissance est 2.

Le facteur commun est \(x^2\).

Étape 2 : Factorisation

\[ 15x^4 + 7x^2 = x^2\left(15x^2 + 7\right) \]

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10. Expression : \(8a^3 - 5a\)

Étape 1 : Identifier le facteur commun

Les deux termes contiennent \(a\).
- Dans \(8a^3\), la puissance est 3.
- Dans \(-5a\), la puissance est 1.

Le facteur commun est \(a\).

Étape 2 : Factorisation

\[ 8a^3 - 5a = a\left(8a^2 - 5\right) \]

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11. Expression : \(12b^5 - 5b^3\)

Étape 1 : Identifier le facteur commun

Les deux termes contiennent \(b\).
- Dans \(12b^5\), la puissance est 5.
- Dans \(-5b^3\), la puissance est 3.

Le facteur commun est \(b^3\).

Étape 2 : Factorisation

\[ 12b^5 - 5b^3 = b^3\left(12b^2 - 5\right) \]

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12. Expression : \(4a^3 + 2a - 5a^2\)

Étape 1 : Réorganiser l’expression

Il est souvent plus facile de factoriser lorsque l’expression est écrite en ordre décroissant de l’exposant.
On réorganise : \[ 4a^3 - 5a^2 + 2a \]

Étape 2 : Identifier le facteur commun

Chaque terme comporte la variable \(a\).
- Dans \(4a^3\), la puissance est 3.
- Dans \(-5a^2\), la puissance est 2.
- Dans \(2a\), la puissance est 1.

Le facteur commun est \(a\).

Étape 3 : Factorisation

On factorise \(a\) : \[ 4a^3 - 5a^2 + 2a = a\left(4a^2 - 5a + 2\right) \]

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Chaque expression a donc été mise en évidence en extrayant le monôme commun. Cette méthode consiste à :

1. Rechercher dans chaque terme la variable ou le nombre présent qui se retrouve dans tous les termes.
2. Choisir l’exposant le plus petit si la variable apparaît avec des puissances différentes.
3. Mettre en facteur ce monôme commun et écrire le reste de l’expression entre parenthèses.

Ces étapes sont simples à suivre et permettent de simplifier une expression en factorisant un polynôme.