Exercice 7

Exercice :

Pour chacune des expressions suivantes, mettre en évidence le plus grand entier possible.

\(\quad 30a + 135b + 90\)
\(\quad 18x - 72 + 30y\)
\(\quad 20c + 40d - 64\)
\(\quad 44 - 77x + 110y\)
\(\quad 120a + 210 - 135b\)
\(\quad 104 + 91b + 143a\)

Réponse

Voici le résumé très court des réponses :

15(2a + 9b + 6)
6(3x + 5y – 12)
4(5c + 10d – 16)
11(4 – 7x + 10y)
15(8a – 9b + 14)
13(11a + 7b + 8)

Corrigé détaillé

Voici la correction détaillée de chaque expression :

1) Expression : \(30a + 135b + 90\)

Étape 1 : Identifier les coefficients

Le coefficient de \(a\) est \(30\).
Le coefficient de \(b\) est \(135\).
Le terme constant est \(90\).

Étape 2 : Déterminer le plus grand entier commun

On cherche le plus grand entier qui divise \(30\), \(135\) et \(90\).

On peut remarquer que :
- \(30 = 2 \times 3 \times 5\)
- \(135 = 3^3 \times 5\)
- \(90 = 2 \times 3^2 \times 5\)

Les facteurs communs sont \(3\) et \(5\) (la puissance minimale de \(3\) est \(1\) car \(30\) ne comporte qu’un seul facteur \(3\)).
Donc le PGEC (plus grand entier commun) est \(3 \times 5 = 15\).

Étape 3 : Mettre en évidence le facteur commun

On factorise \(15\) dans chaque terme :

\[ 30a + 135b + 90 = 15\left( \frac{30a}{15} + \frac{135b}{15} + \frac{90}{15} \right) = 15\left( 2a + 9b + 6 \right) \]

Résultat final :

\[ 15(2a + 9b + 6) \]

2) Expression : \(18x - 72 + 30y\)

Étape 1 : Réécrire l’expression

Il est plus commode de l’écrire en regroupant les termes variables et le terme constant :

\[ 18x + 30y - 72 \]

Étape 2 : Identifier les coefficients

Pour \(x\) : \(18\)
Pour \(y\) : \(30\)
Terme constant : \(-72\)

Étape 3 : Calculer le PGEC

Les entiers sont \(18\), \(30\) et \(72\).

\(18 = 2 \times 3^2\)
\(30 = 2 \times 3 \times 5\)
\(72 = 2^3 \times 3^2\)

Le plus grand entier commun est \(2 \times 3 = 6\).

Étape 4 : Factoriser

\[ 18x + 30y - 72 = 6\left( \frac{18x}{6} + \frac{30y}{6} - \frac{72}{6} \right) = 6\left( 3x + 5y - 12 \right) \]

Résultat final :

\[ 6(3x + 5y - 12) \]

3) Expression : \(20c + 40d - 64\)

Étape 1 : Identifier les coefficients

Pour \(c\) : \(20\)
Pour \(d\) : \(40\)
Terme constant : \(-64\)

Étape 2 : Déterminer le PGEC

On décompose en facteurs premiers :

\(20 = 2^2 \times 5\)
\(40 = 2^3 \times 5\)
\(64 = 2^6\)

Le seul facteur commun est \(2\) avec la plus petite puissance \(2^2\). Ainsi, le PGEC est \(2^2 = 4\).

Étape 3 : Factoriser

\[ 20c + 40d - 64 = 4\left( \frac{20c}{4} + \frac{40d}{4} - \frac{64}{4} \right) = 4\left( 5c + 10d - 16 \right) \]

Résultat final :

\[ 4(5c + 10d - 16) \]

4) Expression : \(44 - 77x + 110y\)

Étape 1 : Réécrire l’expression

On peut réorganiser l’expression en regroupant les termes :

\[ -77x + 110y + 44 \]

Étape 2 : Identifier les coefficients

Pour \(x\) : \(-77\)
Pour \(y\) : \(110\)
Terme constant : \(44\)

Étape 3 : Calculer le PGEC

On calcule le PGEC des entiers \(77\), \(110\) et \(44\) (on ignore le signe pour le moment) :

\(77 = 7 \times 11\)
\(110 = 10 \times 11\)
\(44 = 4 \times 11\)

Tous les termes possèdent \(11\) comme facteur commun.

Étape 4 : Factoriser

\[ 44 - 77x + 110y = 11\left( \frac{44}{11} - \frac{77x}{11} + \frac{110y}{11} \right) = 11\left( 4 - 7x + 10y \right) \]

Résultat final :

\[ 11(4 - 7x + 10y) \]

5) Expression : \(120a + 210 - 135b\)

Étape 1 : Réorganiser l’expression

On écrit :

\[ 120a - 135b + 210 \]

Étape 2 : Identifier les coefficients

Pour \(a\) : \(120\)
Pour \(b\) : \(-135\) (on prend la valeur absolue pour le PGEC)
Terme constant : \(210\)

Étape 3 : Déterminer le PGEC

Décomposons en facteurs premiers :

\(120 = 2^3 \times 3 \times 5\)
\(135 = 3^3 \times 5\)
\(210 = 2 \times 3 \times 5 \times 7\)

Les facteurs communs sont \(3\) et \(5\). Leur produit est \(15\).

Étape 4 : Factoriser

\[ 120a - 135b + 210 = 15\left( \frac{120a}{15} - \frac{135b}{15} + \frac{210}{15} \right) = 15\left( 8a - 9b + 14 \right) \]

Résultat final :

\[ 15(8a - 9b + 14) \]

6) Expression : \(104 + 91b + 143a\)

Étape 1 : Réorganiser l’expression

On réécrit :

\[ 143a + 91b + 104 \]

Étape 2 : Identifier les coefficients

Pour \(a\) : \(143\)
Pour \(b\) : \(91\)
Terme constant : \(104\)

Étape 3 : Déterminer le PGEC

Décomposons ces nombres en facteurs premiers :

\(143 = 11 \times 13\)
\(91 = 7 \times 13\)
\(104 = 8 \times 13\)

Tous les termes ont \(13\) comme facteur commun.

Étape 4 : Factoriser

\[ 143a + 91b + 104 = 13\left( \frac{143a}{13} + \frac{91b}{13} + \frac{104}{13} \right) = 13\left( 11a + 7b + 8 \right) \]

Résultat final :

\[ 13(11a + 7b + 8) \]

Chaque expression a été factorisée en mettant en évidence le plus grand entier possible, ce qui simplifie les expressions et facilite leur manipulation.