Exercice 6

Exercice :

Pour chaque expression ci-dessous, factorisez en extrayant le plus grand facteur entier commun.

\(4a + 6\)
\(6 + 9b\)
\(8x - 12\)
\(28a + 42\)
\(12 - 18x\)
\(30a + 45\)
\(33a + 12b\)
\(49y - 84x\)
\(96x + 84y\)
\(154a - 33b\)
\(100c + 24d\)
\(45x - 81y\)

Réponse

Voici la réponse finale très courte :

4a + 6 = 2(2a + 3)
6 + 9b = 3(2 + 3b)
8x − 12 = 4(2x − 3)
28a + 42 = 14(2a + 3)
12 − 18x = 6(2 − 3x)
30a + 45 = 15(2a + 3)
33a + 12b = 3(11a + 4b)
49y − 84x = 7(7y − 12x)
96x + 84y = 12(8x + 7y)
154a − 33b = 11(14a − 3b)
100c + 24d = 4(25c + 6d)
45x − 81y = 9(5x − 9y)

Corrigé détaillé

Voici la correction détaillée de chaque expression en factorisant par le plus grand facteur entier commun :

1. Expression : \(4a + 6\)

Identifier les coefficients :
Le premier terme a pour coefficient \(4\) et le second \(6\).
Trouver le PGCD de 4 et 6 :
Les diviseurs de \(4\) sont \(1, 2, 4\) et ceux de \(6\) sont \(1, 2, 3, 6\).
Le plus grand diviseur commun est \(2\).
Factoriser :
On extrait \(2\) : \[ 4a + 6 = 2(2a) + 2(3) = 2(2a + 3). \]

2. Expression : \(6 + 9b\)

Identifier les coefficients :
Le premier terme est \(6\) et le second \(9\) (associé à \(b\)).
Trouver le PGCD de 6 et 9 :
Les diviseurs de \(6\) : \(1, 2, 3, 6\) et de \(9\) : \(1, 3, 9\).
Le plus grand commun est \(3\).
Factoriser :
On extrait \(3\) : \[ 6 + 9b = 3(2) + 3(3b) = 3(2 + 3b). \]

3. Expression : \(8x - 12\)

Identifier les coefficients :
Pour \(8x\) le coefficient est \(8\) et pour \(-12\) c’est \(-12\).
Trouver le PGCD de 8 et 12 :
Les diviseurs de \(8\) : \(1, 2, 4, 8\) et de \(12\) : \(1, 2, 3, 4, 6, 12\).
Le plus grand commun est \(4\).
Factoriser :
On extrait \(4\) : \[ 8x - 12 = 4(2x) - 4(3) = 4(2x - 3). \]

4. Expression : \(28a + 42\)

Identifier les coefficients :
Le coefficient de \(28a\) est \(28\) et celui de \(42\) est \(42\).
Trouver le PGCD de 28 et 42 :
Les diviseurs de \(28\) : \(1, 2, 4, 7, 14, 28\) et de \(42\) : \(1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42\).
Le plus grand commun est \(14\).
Factoriser :
On extrait \(14\) : \[ 28a + 42 = 14(2a) + 14(3) = 14(2a + 3). \]

5. Expression : \(12 - 18x\)

Identifier les coefficients :
Le premier terme est \(12\) et le coefficient devant \(x\) est \(18\) (avec un signe négatif).
Trouver le PGCD de 12 et 18 :
Les diviseurs de \(12\) : \(1, 2, 3, 4, 6, 12\) et ceux de \(18\) : \(1, 2, 3, 6, 9, 18\).
Le plus grand commun est \(6\).
Factoriser :
On extrait \(6\) : \[ 12 - 18x = 6(2) - 6(3x) = 6(2 - 3x). \]

6. Expression : \(30a + 45\)

Identifier les coefficients :
Le coefficient de \(30a\) est \(30\) et celui de \(45\) est \(45\).
Trouver le PGCD de 30 et 45 :
Les diviseurs de \(30\) : \(1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30\) et de \(45\) : \(1, 3, 5, 9, 15, 45\).
Le plus grand commun est \(15\).
Factoriser :
On extrait \(15\) : \[ 30a + 45 = 15(2a) + 15(3) = 15(2a + 3). \]

7. Expression : \(33a + 12b\)

Identifier les coefficients :
Les coefficients sont \(33\) pour \(a\) et \(12\) pour \(b\).
Trouver le PGCD de 33 et 12 :
Les diviseurs de \(33\) : \(1, 3, 11, 33\) et de \(12\) : \(1, 2, 3, 4, 6, 12\).
Le plus grand commun est \(3\).
Factoriser :
On extrait \(3\) : \[ 33a + 12b = 3(11a) + 3(4b) = 3(11a + 4b). \]

8. Expression : \(49y - 84x\)

Identifier les coefficients :
Pour \(49y\), le coefficient est \(49\) et pour \(-84x\), c’est \(-84\).
Trouver le PGCD de 49 et 84 :
Les diviseurs de \(49\) : \(1, 7, 49\) et de \(84\) : \(1, 2, 3, 4, 6, 7, 12, 14, 21, 28, 42, 84\).
Le plus grand commun est \(7\).
Factoriser :
On extrait \(7\) : \[ 49y - 84x = 7(7y) - 7(12x) = 7(7y - 12x). \]

9. Expression : \(96x + 84y\)

Identifier les coefficients :
Le coefficient de \(96x\) est \(96\) et celui de \(84y\) est \(84\).
Trouver le PGCD de 96 et 84 :
Déterminons-le en décomposant les nombres :
\[ 96 = 2^5 \times 3, \quad 84 = 2^2 \times 3 \times 7. \] On prend le minimum des exposants pour \(2\) qui est \(2^2\) et pour \(3\) c’est \(3\).
Ainsi, le PGCD est \(2^2 \times 3 = 4 \times 3 = 12\).
Factoriser :
On extrait \(12\) : \[ 96x + 84y = 12(8x) + 12(7y) = 12(8x + 7y). \]

10. Expression : \(154a - 33b\)

Identifier les coefficients :
Le coefficient de \(154a\) est \(154\) et celui de \(-33b\) est \(-33\).
Trouver le PGCD de 154 et 33 :
Calculons la décomposition en facteurs premiers :
\[ 154 = 2 \times 7 \times 11, \quad 33 = 3 \times 11. \] Le facteur commun maximum est \(11\).
Factoriser :
On extrait \(11\) : \[ 154a - 33b = 11(14a) - 11(3b) = 11(14a - 3b). \]

11. Expression : \(100c + 24d\)

Identifier les coefficients :
Le coefficient de \(100c\) est \(100\) et celui de \(24d\) est \(24\).
Trouver le PGCD de 100 et 24 :
Décomposons en facteurs premiers :
\[ 100 = 2^2 \times 5^2, \quad 24 = 2^3 \times 3. \] Le facteur commun maximum est \(2^2 = 4\).
Factoriser :
On extrait \(4\) : \[ 100c + 24d = 4(25c) + 4(6d) = 4(25c + 6d). \]

12. Expression : \(45x - 81y\)

Identifier les coefficients :
Le coefficient de \(45x\) est \(45\) et celui de \(-81y\) est \(-81\).
Trouver le PGCD de 45 et 81 :
Décomposons en facteurs premiers :
\[ 45 = 3^2 \times 5, \quad 81 = 3^4. \] Le facteur commun maximum est \(3^2 = 9\).
Factoriser :
On extrait \(9\) : \[ 45x - 81y = 9(5x) - 9(9y) = 9(5x - 9y). \]

Récapitulatif des réponses

\(4a + 6 = 2(2a + 3)\)
\(6 + 9b = 3(2 + 3b)\)
\(8x - 12 = 4(2x - 3)\)
\(28a + 42 = 14(2a + 3)\)
\(12 - 18x = 6(2 - 3x)\)
\(30a + 45 = 15(2a + 3)\)
\(33a + 12b = 3(11a + 4b)\)
\(49y - 84x = 7(7y - 12x)\)
\(96x + 84y = 12(8x + 7y)\)
\(154a - 33b = 11(14a - 3b)\)
\(100c + 24d = 4(25c + 6d)\)
\(45x - 81y = 9(5x - 9y)\)

Chaque étape a permis d’identifier correctement le plus grand facteur commun ainsi que de factoriser en conséquence. Ces techniques sont très utiles pour simplifier des expressions algébriques.