Exercice 5

Exercice

Pour chacune des expressions suivantes, factorisez en mettant en évidence le plus grand entier commun :

\(4a + 4\)
\(3x + 3\)
\(3a + 15\)
\(12b - 24\)
\(6y + 18\)
\(15 + 45a\)
\(3a + 3b\)
\(5x - 5y\)
\(7a - 21b\)
\(121x + 11y\)
\(15a + 5b\)
\(12y - 36x\)

Réponse

Voici la synthèse des factorisations :

4a + 4 = 4(a + 1)
3x + 3 = 3(x + 1)
3a + 15 = 3(a + 5)
12b - 24 = 12(b - 2)
6y + 18 = 6(y + 3)
15 + 45a = 15(1 + 3a)
3a + 3b = 3(a + b)
5x - 5y = 5(x - y)
7a - 21b = 7(a - 3b)
121x + 11y = 11(11x + y)
15a + 5b = 5(3a + b)
12y - 36x = 12(y - 3x)

Corrigé détaillé

Voici la correction complète de l’exercice avec toutes les étapes détaillées pour chaque expression.

Rappel général

Pour factoriser en mettant en évidence le plus grand entier commun (GEC), il faut :

Identifier le plus grand nombre entier qui divise chacun des coefficients des termes de l’expression.
Extraire ce nombre en facteur commun.
Réécrire l’expression sous la forme d’un produit.

1. Expression : \(4a + 4\)

Étape 1 : Les coefficients sont 4 et 4.
Le plus grand entier commun est \(4\).
Étape 2 : On factorise : \[ 4a + 4 = 4(a + 1) \]

2. Expression : \(3x + 3\)

Étape 1 : Les coefficients sont 3 et 3.
Le plus grand entier commun est \(3\).
Étape 2 : On factorise : \[ 3x + 3 = 3(x + 1) \]

3. Expression : \(3a + 15\)

Étape 1 : Les coefficients sont 3 et 15.
Le plus grand entier commun est \(3\) (car \(15 = 3 \times 5\)).
Étape 2 : On factorise : \[ 3a + 15 = 3(a + 5) \]

4. Expression : \(12b - 24\)

Étape 1 : Les coefficients sont 12 et 24.
Le plus grand entier commun est \(12\) (puisque \(24 = 12 \times 2\)).
Étape 2 : On factorise : \[ 12b - 24 = 12(b - 2) \]

5. Expression : \(6y + 18\)

Étape 1 : Les coefficients sont 6 et 18.
Le plus grand entier commun est \(6\) (car \(18 = 6 \times 3\)).
Étape 2 : On factorise : \[ 6y + 18 = 6(y + 3) \]

6. Expression : \(15 + 45a\)

Étape 1 : Les coefficients sont 15 et 45.
Le plus grand entier commun est \(15\) (puisque \(45 = 15 \times 3\)).
Étape 2 : On factorise : \[ 15 + 45a = 15(1 + 3a) \]

(On peut aussi écrire \(15(3a + 1)\), mais il est d’usage de laisser le terme sans coefficient en premier.)

7. Expression : \(3a + 3b\)

Étape 1 : Les coefficients sont 3 et 3.
Le plus grand entier commun est \(3\).
Étape 2 : On factorise : \[ 3a + 3b = 3(a + b) \]

8. Expression : \(5x - 5y\)

Étape 1 : Les coefficients sont 5 et -5.
Le nombre 5 divise les deux termes (le signe moins ne change pas le processus de recherche du facteur numérique).
Étape 2 : On factorise : \[ 5x - 5y = 5(x - y) \]

9. Expression : \(7a - 21b\)

Étape 1 : Les coefficients sont 7 et 21.
Le plus grand entier commun est \(7\) (car \(21 = 7 \times 3\)).
Étape 2 : On factorise : \[ 7a - 21b = 7(a - 3b) \]

10. Expression : \(121x + 11y\)

Étape 1 : Les coefficients sont 121 et 11.
Le plus grand entier commun est \(11\) (puisque \(121 = 11 \times 11\)).
Étape 2 : On factorise : \[ 121x + 11y = 11(11x + y) \]

11. Expression : \(15a + 5b\)

Étape 1 : Les coefficients sont 15 et 5.
Le plus grand entier commun est \(5\) (car \(15 = 5 \times 3\)).
Étape 2 : On factorise : \[ 15a + 5b = 5(3a + b) \]

12. Expression : \(12y - 36x\)

Étape 1 : Les coefficients sont 12 et -36.
Le plus grand entier commun est \(12\) (puisque \(36 = 12 \times 3\)).
Étape 2 : On factorise : \[ 12y - 36x = 12(y - 3x) \]

Récapitulatif des réponses factorisées

\(4a + 4 = 4(a + 1)\)
\(3x + 3 = 3(x + 1)\)
\(3a + 15 = 3(a + 5)\)
\(12b - 24 = 12(b - 2)\)
\(6y + 18 = 6(y + 3)\)
\(15 + 45a = 15(1 + 3a)\)
\(3a + 3b = 3(a + b)\)
\(5x - 5y = 5(x - y)\)
\(7a - 21b = 7(a - 3b)\)
\(121x + 11y = 11(11x + y)\)
\(15a + 5b = 5(3a + b)\)
\(12y - 36x = 12(y - 3x)\)

Chaque expression a été factorisée en extrayant le plus grand entier commun à tous ses termes, un procédé qui simplifie l’expression et permet parfois de réaliser des simplifications supplémentaires dans d’autres contextes.