Exercice 4

Recopier et compléter afin que les égalités suivantes soient vraies :

  1. \[ 16a + 12b + 20 = 2 \cdot (\ldots + 6b + \ldots) \] \[ = 4 \cdot (4a + \ldots + \ldots) \]

  2. \[ 18x + 12y = 2 \cdot (9x + \ldots) \] \[ = 3 \cdot (\ldots + 4y) \] \[ = 6 \cdot (\ldots + \ldots) \]

  3. \[ 45b - 18 = 3 \cdot (\ldots - 6) \] \[ = 9 \cdot (\ldots \, \ldots) \]

  4. \[ 21a - 28b = 7 \cdot (\ldots - \ldots) \]

  5. \[ 8a^2 - 12a = 2 \cdot \left(4a^2 - \ldots\right) \] \[ = 4 \cdot (\ldots - 3a) \] \[ = a \cdot (8a - \ldots) \] \[ = 2a \cdot (\ldots - 6) \] \[ = 4a \cdot (\ldots - \ldots) \]

  6. \[ 36b + 24b^2 = 2 \cdot (\ldots + \ldots) \] \[ = 3 \cdot (\ldots + \ldots) \] \[ = 4 \cdot (\ldots + \ldots) \] \[ = 6 \cdot (\ldots + \ldots) \] \[ = 12 \cdot (\ldots + \ldots) \] \[ = b \cdot (\ldots + \ldots) \] \[ = 3b \cdot (\ldots + \ldots) \] \[ = 12b \cdot (\ldots + \ldots) \]

Réponse

Réponses :

  1. 16a + 12b + 20 = 2·(8a + 6b + 10) = 4·(4a + 3b + 5)

  2. 18x + 12y = 2·(9x + 6y) = 3·(6x + 4y) = 6·(3x + 2y)

  3. 45b – 18 = 3·(15b – 6) = 9·(5b – 2)

  4. 21a – 28b = 7·(3a – 4b)

  5. 8a² – 12a = 2·(4a² – 6a) = 4·(2a² – 3a) = a·(8a – 12) = 2a·(4a – 6) = 4a·(2a – 3)

  6. 36b + 24b² = 2·(18b + 12b²) = 3·(12b + 8b²) = 4·(9b + 6b²) = 6·(6b + 4b²) = 12·(3b + 2b²) = b·(36 + 24b) = 3b·(12 + 8b) = 12b·(3 + 2b)

Corrigé détaillé

Voici la correction détaillée de l’exercice, avec toutes les étapes expliquées :

1) Expression

On part de l’égalité
\[ 16a + 12b + 20 \]

a) Factorisation par 2 :

On remarque que 2 divise chacun des termes :

Ainsi, on a : \[ 16a + 12b + 20 = 2 \cdot (8a + 6b + 10) \] C’est pourquoi dans la première écriture, on complète par « \(8a\) » dans la première ellipse, « 6b » est donné et « 10 » dans la seconde ellipse.

b) Factorisation par 4 :

On cherche à écrire l’expression sous la forme
\[ 16a + 12b + 20 = 4 \cdot (\ldots + \ldots + \ldots) \] On divise chacun des termes par 4 :

On obtient donc : \[ 16a + 12b + 20 = 4 \cdot (4a + 3b + 5) \] Ici, on complète par « 4a », puis « 3b », puis « 5 ».

2) Expression

On considère :
\[ 18x + 12y \]

a) Factorisation par 2 :

Divisons chaque terme par 2 :

Donc : \[ 18x + 12y = 2 \cdot (9x + 6y) \] On complète par « 9x » et « 6y ».

b) Factorisation par 3 :

Divisons par 3 :

D’où : \[ 18x + 12y = 3 \cdot (6x + 4y) \] Ici, la première ellipse devient « 6x » et la deuxième « 4y ».

c) Factorisation par 6 :

Divisons par 6 :

On trouve : \[ 18x + 12y = 6 \cdot (3x + 2y) \] On complète par « 3x » et « 2y ».

3) Expression

On traite :
\[ 45b - 18 \]

a) Factorisation par 3 :

Divisons chaque terme par 3 :

Ainsi : \[ 45b - 18 = 3 \cdot (15b - 6) \] On complète la première ellipse par « 15b » et la seconde par « 6 ».

b) Factorisation par 9 :

Divisons par 9 :

On obtient : \[ 45b - 18 = 9 \cdot (5b - 2) \] On complète par « 5b » puis « 2 ».

4) Expression

Nous avons :
\[ 21a - 28b \]

On remarque que 7 est un diviseur commun :

Donc : \[ 21a - 28b = 7 \cdot (3a - 4b) \] Les ellipses se complètent par « 3a » et « 4b ».

5) Expression

On considère :
\[ 8a^2 - 12a \]

a) Factorisation par 2 :

Divisons par 2 :

Ainsi : \[ 8a^2 - 12a = 2 \cdot (4a^2 - 6a) \] On complète par « 4a^2 » et « 6a ».

b) Factorisation par 4 :

Divisons par 4 :

On a donc : \[ 8a^2 - 12a = 4 \cdot (2a^2 - 3a) \] Ici, on complète par « 2a^2 » et « 3a ».

c) Factorisation par \(a\) :

Factorisons \(a\) : - \(8a^2 \div a = 8a\) - \(12a \div a = 12\)

Ce qui donne : \[ 8a^2 - 12a = a \cdot (8a - 12) \] On complète par « 8a » et « 12 ».

d) Factorisation par \(2a\) :

Divisons par \(2a\) :

Donc : \[ 8a^2 - 12a = 2a \cdot (4a - 6) \] Les ellipses se complètent par « 4a » et « 6 ».

e) Factorisation par \(4a\) :

Divisons par \(4a\) :

Ainsi : \[ 8a^2 - 12a = 4a \cdot (2a - 3) \] On complète par « 2a » et « 3 ».

6) Expression

Enfin, on a :
\[ 36b + 24b^2 \]

a) Factorisation par 2 :

Divisons par 2 :

On écrit : \[ 36b + 24b^2 = 2 \cdot (18b + 12b^2) \] On complète par « 18b » et « 12b^2 ».

b) Factorisation par 3 :

Divisons par 3 :

D’où : \[ 36b + 24b^2 = 3 \cdot (12b + 8b^2) \] Les ellipses se complètent par « 12b » et « 8b^2 ».

c) Factorisation par 4 :

Divisons par 4 :

On obtient : \[ 36b + 24b^2 = 4 \cdot (9b + 6b^2) \] On complète par « 9b » et « 6b^2 ».

d) Factorisation par 6 :

Divisons par 6 :

Ainsi : \[ 36b + 24b^2 = 6 \cdot (6b + 4b^2) \] Ici, on complète par « 6b » et « 4b^2 ».

e) Factorisation par 12 :

Divisons par 12 :

Ce qui donne : \[ 36b + 24b^2 = 12 \cdot (3b + 2b^2) \] On complète par « 3b » et « 2b^2 ».

f) Factorisation par \(b\) :

Isolez \(b\) :

Ainsi : \[ 36b + 24b^2 = b \cdot (36 + 24b) \] Les ellipses se complètent par « 36 » et « 24b ».

g) Factorisation par \(3b\) :

Divisons par \(3b\) :

On obtient : \[ 36b + 24b^2 = 3b \cdot (12 + 8b) \] On complète par « 12 » et « 8b ».

h) Factorisation par \(12b\) :

Divisons par \(12b\) :

Ce qui donne : \[ 36b + 24b^2 = 12b \cdot (3 + 2b) \] Ici, on complète par « 3 » et « 2b ».

Récapitulatif des résultats

  1. \[ 16a + 12b + 20 = 2 \cdot (8a + 6b + 10) = 4 \cdot (4a + 3b + 5) \]

  2. \[ 18x + 12y = 2 \cdot (9x + 6y) = 3 \cdot (6x + 4y) = 6 \cdot (3x + 2y) \]

  3. \[ 45b - 18 = 3 \cdot (15b - 6) = 9 \cdot (5b - 2) \]

  4. \[ 21a - 28b = 7 \cdot (3a - 4b) \]

  5. \[ 8a^2 - 12a = 2 \cdot (4a^2 - 6a) = 4 \cdot (2a^2 - 3a) = a \cdot (8a - 12) = 2a \cdot (4a - 6) = 4a \cdot (2a - 3) \]

  6. \[ \begin{aligned} 36b + 24b^2 &= 2 \cdot (18b + 12b^2) \\ &= 3 \cdot (12b + 8b^2) \\ &= 4 \cdot (9b + 6b^2) \\ &= 6 \cdot (6b + 4b^2) \\ &= 12 \cdot (3b + 2b^2) \\ &= b \cdot (36 + 24b) \\ &= 3b \cdot (12 + 8b) \\ &= 12b \cdot (3 + 2b) \end{aligned} \]

Chaque factorisation consiste à chercher le plus grand diviseur commun (ou un diviseur pratique) pour simplifier l’expression initiale. Cela permet de réécrire l’expression sous plusieurs formes, ce qui peut être utile pour résoudre des équations ou pour simplifier d’autres calculs.

J’espère que cette correction détaillée vous aide à bien comprendre la démarche !

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