Exercice 3

latex Complétez afin que les égalités suivantes soient vraies :

1. \(3a^{2} + 2a = a \cdot (3a + \ldots)\).

2. \(6x^{2} + 5x = x \cdot (\ldots + 5)\).

3. \(2x^{2} + 8x = x \cdot (2x + \ldots)\).

4. \(4a^{2} + 6a = 2 \cdot \left(2a^{2} + \ldots\right) = a \cdot (4a + \ldots)\).

5. \(8b + 6b^{2} = 2 \cdot \left(\ldots + 3b^{2}\right) = b \cdot (\ldots + 6b)\).

Réponse

1. Terme manquant : 2
   
2. Terme manquant : 6x
   
3. Terme manquant : 8
   
4. Termes manquants : 3a (avec le 2) et 6 (avec le a)
   
5. Termes manquants : 4b (avec le 2) et 8 (avec le b)

Corrigé détaillé

Nous allons détailler chaque égalité et montrer comment compléter les termes manquants.

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1) \(3a^2 + 2a = a \cdot (3a + \ldots)\)

Étape 1 : Identifier le facteur commun
Les deux termes de l’expression \(3a^2 + 2a\) contiennent le facteur \(a\).
On peut écrire : \[ 3a^2 + 2a = a\cdot(3a) + a\cdot2 = a\cdot(3a+2). \]

Conclusion :
Le terme manquant est 2.

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2) \(6x^2 + 5x = x \cdot (\ldots + 5)\)

Étape 1 : Identifier le facteur commun
Les deux termes contiennent le facteur \(x\).
En le factorisant, on obtient : \[ 6x^2 + 5x = x\cdot(6x) + x\cdot5 = x\cdot(6x+5). \]

Conclusion :
Le terme manquant dans la parenthèse pour compléter l’expression est \(6x\) (placez-le à gauche de \(+ 5\)).

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3) \(2x^2 + 8x = x \cdot (2x + \ldots)\)

Étape 1 : Factoriser \(x\)
Les deux termes comportent le facteur \(x\) : \[ 2x^2 + 8x = x\cdot(2x) + x\cdot8 = x\cdot(2x+8). \]

Conclusion :
Le terme manquant est 8.

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4) \(4a^2 + 6a = 2 \cdot \left(2a^2 + \ldots\right) = a \cdot (4a + \ldots)\)

Nous allons effectuer deux factorisations différentes.

Première factorisation avec le facteur 2 :

1. On commence par écrire l’expression sous la forme d’un produit : \[ 4a^2 + 6a = 2 \cdot \left(2a^2 + ?\right). \]
2. Pour retrouver \(4a^2\), il faut que \(2 \times 2a^2 = 4a^2\).
   
3. Pour retrouver \(6a\), il faut que \(2 \times (? ) = 6a\).
   Ainsi, \(? = 3a\).

On a donc : \[ 4a^2 + 6a = 2 \cdot (2a^2 + 3a). \]

Deuxième factorisation en factorisant \(a\) :

1. Factorisons \(a\) de \(4a^2 + 6a\) : \[ 4a^2 + 6a = a\cdot(4a) + a\cdot6 = a\cdot(4a+6). \]

Conclusion :
- Dans la première égalité, le terme manquant est \(3a\). - Dans la deuxième égalité, le terme manquant est 6.

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5) \(8b + 6b^2 = 2 \cdot \left(\ldots + 3b^2\right) = b \cdot (\ldots + 6b)\)

Nous procéderons encore une fois par deux façons de factoriser.

Première factorisation avec le facteur 2 :

1. Écrivons l’expression sous la forme : \[ 6b^2 + 8b = 2 \cdot \left(3b^2 + ?\right). \] (Remarquez que l’ordre des termes n’a pas d’importance puisque l’addition est commutative.)
2. Pour retrouver \(6b^2\), il faut que \(2 \times 3b^2 = 6b^2\).
3. Pour retrouver \(8b\), il faut que \(2 \times (?) = 8b\).
   Ainsi, \(? = 4b\).

On a donc : \[ 8b + 6b^2 = 2 \cdot \left(3b^2 + 4b\right). \]

Deuxième factorisation en factorisant \(b\) :

1. Factorisons \(b\) à partir de \(6b^2 + 8b\) : \[ 6b^2 + 8b = b\cdot(6b) + b\cdot8 = b\cdot(6b+8). \] Pour respecter la façon présentée dans l’expression, on peut écrire la parenthèse sous la forme \((8 + 6b)\).

Conclusion :
- Dans la première égalité, le terme manquant dans la parenthèse est \(4b\). - Dans la deuxième égalité, le terme manquant est 8.

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Synthèse des réponses

1. \(3a^2+2a = a\cdot(3a+2)\)
   → Terme manquant : 2

2. \(6x^2+5x = x\cdot(6x+5)\)
   → Terme manquant : \(6x\)

3. \(2x^2+8x = x\cdot(2x+8)\)
   → Terme manquant : 8

4. \(4a^2+6a = 2\cdot(2a^2+3a) = a\cdot(4a+6)\)
   → Termes manquants : \(3a\) et 6

5. \(8b+6b^2 = 2\cdot(3b^2+4b) = b\cdot(8+6b)\)
   → Termes manquants : \(4b\) et 8

Ces factorisations montrent comment on peut retrouver les expressions originales en extrayant les facteurs communs et en complétant les multiplications.