Exercice 2

Complétez les expressions manquantes pour obtenir des égalités vraies :

1. \(4a + 10b = 2\cdot(2a + \ldots)\)
2. \(6a^2 + 9 = 3\cdot(\ldots + 3)\)
3. \(12a + 8b + 6 = 2\cdot(\ldots + 4b + \ldots)\)
4. \(5x - 15 = 5\cdot(x - \ldots)\)
5. \(4x^2 - 6x + 4 = 2\cdot(\ldots - 3x + \ldots)\)

Réponse

1. 4a + 10b = 2(2a + 5b)
   
2. 6a² + 9 = 3(2a² + 3)
   
3. 12a + 8b + 6 = 2(6a + 4b + 3)
   
4. 5x - 15 = 5(x - 3)
   
5. 4x² - 6x + 4 = 2(2x² - 3x + 2)

Corrigé détaillé

Voici une correction détaillée pour chaque expression :

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1) Expression :
On a
\[ 4a + 10b = 2\cdot(2a + \ldots) \]

Étape 1 : On cherche d’abord à savoir quel nombre multiplier par \(2\) pour obtenir le terme en \(b\).
On remarque que \(2 \cdot \text{(quelque chose)}\) doit donner \(10b\).

Étape 2 : Écrire \(10b\) sous la forme \(2 \cdot 5b\) :
\[ 2\cdot(2a + 5b) = 2\cdot 2a + 2\cdot 5b = 4a + 10b. \]

Conclusion : L’expression complète est
\[ 4a + 10b = 2\cdot(2a + 5b). \]

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2) Expression :
On a
\[ 6a^2 + 9 = 3\cdot(\ldots + 3) \]

Étape 1 : On remarque que le terme constant \(9\) peut s’écrire sous la forme \(3 \cdot 3\).
Le terme \(6a^2\) s’écrit comme \(3 \cdot 2a^2\) car \(3\cdot 2a^2 = 6a^2\).

Étape 2 : Rassembler ces résultats, on obtient
\[ 3\cdot(2a^2 + 3) = 3\cdot 2a^2 + 3\cdot 3 = 6a^2 + 9. \]

Conclusion : L’expression complète est
\[ 6a^2 + 9 = 3\cdot(2a^2 + 3). \]

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3) Expression :
On a
\[ 12a + 8b + 6 = 2\cdot(\ldots + 4b + \ldots) \]

Étape 1 : On cherche à réécrire \(12a\) comme \(2\cdot 6a\) et \(6\) comme \(2\cdot 3\). Le terme \(8b\) s’écrit directement \(2\cdot 4b\).

Étape 2 : Ainsi on a
\[ 2\cdot(6a + 4b + 3) = 2\cdot 6a + 2\cdot 4b + 2\cdot 3 = 12a + 8b + 6. \]

Conclusion : L’expression complète est
\[ 12a + 8b + 6 = 2\cdot(6a + 4b + 3). \]

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4) Expression :
On a
\[ 5x - 15 = 5\cdot(x - \ldots) \]

Étape 1 : On cherche à écrire \(-15\) comme \(5\) multiplié par un nombre.
On sait que \(5\times (-3) = -15\).

Étape 2 : On peut donc factoriser l’expression :
\[ 5\cdot(x - 3) = 5x - 15. \]

Conclusion : L’expression complète est
\[ 5x - 15 = 5\cdot(x - 3). \]

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5) Expression :
On a
\[ 4x^2 - 6x + 4 = 2\cdot(\ldots - 3x + \ldots) \]

Étape 1 : Remarquons que \(4x^2\) peut s’écrire comme \(2\cdot 2x^2\) et \(4\) comme \(2\cdot 2\).
Le terme \(-6x\) est déjà égal à \(2\cdot (-3x)\).

Étape 2 : Ainsi, la factorisation est :
\[ 2\cdot(2x^2 - 3x + 2) = 2\cdot 2x^2 + 2\cdot (-3x) + 2\cdot 2 = 4x^2 - 6x + 4. \]

Conclusion : L’expression complète est
\[ 4x^2 - 6x + 4 = 2\cdot(2x^2 - 3x + 2). \]

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Ces étapes montrent comment identifier les facteurs communs et les utiliser pour transformer une expression en un produit.
Chaque égalité a été obtenue en factorisant les termes avec le même coefficient.

Voilà la correction complète de l’exercice.