Exercice 144

Roméo et Juliette achètent des fleurs chez le même fleuriste. Juliette achète 3 roses rouges et 4 roses blanches pour 34 fr. Roméo achète 4 roses rouges et 5 roses blanches pour 43,50 fr.

Déterminer le prix d’une rose rouge et d’une rose blanche.

Réponse

Prix d’une rose rouge : 4 fr
Prix d’une rose blanche : 5,50 fr

Corrigé détaillé

Nous avons deux équations d’après l’énoncé :

1. Pour Juliette (3 roses rouges et 4 roses blanches pour 34 fr) : \[ 3r + 4b = 34 \]
2. Pour Roméo (4 roses rouges et 5 roses blanches pour 43,50 fr) : \[ 4r + 5b = 43{,}50 \]

où \(r\) représente le prix d’une rose rouge et \(b\) le prix d’une rose blanche.

Étape 1 : Écrire le système d’équations

Nous avons donc le système suivant : \[ \begin{cases} 3r + 4b = 34 \\ 4r + 5b = 43{,}50 \end{cases} \]

Étape 2 : Utiliser la méthode d’élimination

Pour éliminer une des variables, nous souhaitons obtenir un même coefficient pour l’une des variables dans les deux équations. Par exemple, nous pouvons éliminer \(r\).

• Multiplions la première équation par 4 : \[ 4 \times (3r + 4b) = 4 \times 34 \quad \Rightarrow \quad 12r + 16b = 136 \]
• Multiplions la deuxième équation par 3 : \[ 3 \times (4r + 5b) = 3 \times 43{,}50 \quad \Rightarrow \quad 12r + 15b = 130{,}50 \]

Étape 3 : Soustraire les équations

Nous soustrayons maintenant la deuxième nouvelle équation de la première afin d’éliminer \(r\) : \[ (12r + 16b) - (12r + 15b) = 136 - 130{,}50 \] Ce qui donne : \[ 12r - 12r + 16b - 15b = 136 - 130{,}50 \] \[ b = 5{,}50 \]

Ainsi, le prix d’une rose blanche est de 5,50 fr.

Étape 4 : Déterminer le prix d’une rose rouge

Nous substituons maintenant \(b = 5{,}50\) dans l’une des équations initiales. Utilisons la première équation : \[ 3r + 4(5{,}50) = 34 \] Calculons \(4 \times 5{,}50\) : \[ 3r + 22 = 34 \] Pour isoler \(r\), soustrayons 22 des deux côtés : \[ 3r = 34 - 22 = 12 \] Divisons ensuite par 3: \[ r = \frac{12}{3} = 4 \]

Le prix d’une rose rouge est donc de 4 fr.

Conclusion

Les prix obtenus sont : - Prix d’une rose rouge : 4 fr - Prix d’une rose blanche : 5,50 fr