Considérons un rectangle dont la largeur est égale à un quart de sa longueur. Si l’on augmente la longueur de \(7\,\text{cm}\) et la largeur de \(2\,\text{cm}\), l’aire augmente de \(59\,\text{cm}^2\).
Déterminez les dimensions initiales du rectangle.
Le rectangle initial a une longueur de 12 cm et une largeur de 3 cm.
Soit \(L\) la longueur initiale du rectangle et \(l\) sa largeur. D’après l’énoncé, la largeur est égale à un quart de la longueur, ce qui nous donne :
\[ l = \frac{L}{4} \]
L’aire initiale \(A_{\text{initial}}\) est :
\[ A_{\text{initial}} = L \times l = L \times \frac{L}{4} = \frac{L^2}{4} \]
La longueur augmente de \(7\,\text{cm}\) et devient \(L + 7\).
La largeur augmente de \(2\,\text{cm}\) et devient :
\[ l + 2 = \frac{L}{4} + 2 \]
L’aire après modification \(A_{\text{modifiée}}\) est :
\[ A_{\text{modifiée}} = (L+7) \times \left(\frac{L}{4} + 2\right) \]
L’énoncé nous indique que l’aire augmente de \(59\,\text{cm}^2\), ce qui signifie :
\[ A_{\text{modifiée}} - A_{\text{initial}} = 59 \]
En remplaçant \(A_{\text{modifiée}}\) et \(A_{\text{initial}}\) par leurs expressions, nous obtenons :
\[ (L+7) \left(\frac{L}{4} + 2\right) - \frac{L^2}{4} = 59 \]
Pour simplifier, développons le produit :
\[ (L+7) \left(\frac{L}{4} + 2\right) = L \times \frac{L}{4} + L \times 2 + 7 \times \frac{L}{4} + 7 \times 2 \] \[ = \frac{L^2}{4} + 2L + \frac{7L}{4} + 14 \]
L’équation devient alors :
\[ \frac{L^2}{4} + 2L + \frac{7L}{4} + 14 - \frac{L^2}{4} = 59 \]
Les termes \(\frac{L^2}{4}\) se compensent, donc :
\[ 2L + \frac{7L}{4} + 14 = 59 \]
Pour combiner \(2L\) et \(\frac{7L}{4}\), écrivons \(2L\) avec un dénominateur commun :
\[ 2L = \frac{8L}{4} \]
Ainsi :
\[ \frac{8L}{4} + \frac{7L}{4} + 14 = \frac{15L}{4} + 14 = 59 \]
Isolons le terme en \(L\) :
\[ \frac{15L}{4} = 59 - 14 \] \[ \frac{15L}{4} = 45 \]
Pour trouver \(L\), multiplions par \(\frac{4}{15}\) :
\[ L = 45 \times \frac{4}{15} = \frac{180}{15} = 12 \]
Ainsi, la longueur initiale du rectangle est \(12\,\text{cm}\).
Utilisons l’expression de \(l\) :
\[ l = \frac{L}{4} = \frac{12}{4} = 3 \]
La largeur initiale du rectangle est \(3\,\text{cm}\).
Les dimensions initiales du rectangle sont :