Exercice
Le périmètre d’un rectangle est de \(112\text{ cm}\). Sa largeur est \(12\text{ cm}\) de moins que sa longueur. Trouvez ses dimensions.
Le rectangle a une longueur de 34 cm et une largeur de 22 cm.
Nous cherchons à déterminer les dimensions d’un rectangle dont le périmètre est donné, et dont la largeur dépend de la longueur.
Étape 1 : Définir les inconnues
Soit \(L\) la longueur et \(l\) la largeur du rectangle.
On sait que la largeur est \(12\text{
cm}\) de moins que la longueur.
On peut écrire : \[
l = L - 12
\]
Étape 2 : Écrire l’expression du périmètre
Le périmètre \(P\) d’un rectangle
est donné par la formule : \[
P = 2(L + l)
\] On nous indique que \(P = 112\text{
cm}\).
Ainsi, on a : \[
2(L + l) = 112
\]
Étape 3 : Utiliser la relation entre la longueur et la largeur
En substituant \(l = L - 12\) dans l’expression du périmètre, nous obtenons : \[ 2\left(L + (L - 12)\right) = 112 \] Simplifions l’expression à l’intérieur de la parenthèse : \[ L + (L - 12) = 2L - 12 \] L’équation devient : \[ 2(2L - 12) = 112 \]
Étape 4 : Résoudre l’équation pour \(L\)
Développons l’équation : \[ 4L - 24 = 112 \] Pour isoler \(L\), ajoutons \(24\) aux deux côtés de l’équation : \[ 4L = 112 + 24 \] \[ 4L = 136 \] Divisons ensuite par \(4\) : \[ L = \frac{136}{4} = 34 \]
La longueur du rectangle est donc \(34\text{ cm}\).
Étape 5 : Déterminer la largeur
On avait posé : \[ l = L - 12 \] En substituant \(L = 34\) : \[ l = 34 - 12 = 22 \]
La largeur du rectangle est donc \(22\text{ cm}\).
Conclusion :
Les dimensions du rectangle sont : - Longueur : \(34\text{ cm}\) - Largeur : \(22\text{ cm}\)