Exercice 131

Exercice :

Le périmètre d’un rectangle est \[ P = 66\ \text{m}. \] La longueur \(L\) dépasse la largeur \(l\) de 15 m, soit \[ L = l + 15. \] Déterminez les dimensions du rectangle.

Réponse

Largeur = 9 m et Longueur = 24 m.

Corrigé détaillé

Nous cherchons à déterminer les dimensions du rectangle en utilisant les informations suivantes :

• Le périmètre du rectangle est donné par
  \[ P = 66\ \text{m}. \]
• La longueur \(L\) dépasse la largeur \(l\) de 15 m, donc
  \[ L = l + 15. \]

Étape 1 : Écrire la formule du périmètre

Le périmètre \(P\) d’un rectangle est donné par la formule
\[ P = 2(L + l). \] Ici, on connaît \(P = 66\ \text{m}\), donc : \[ 2(L + l) = 66. \]

Étape 2 : Simplifier l’équation du périmètre

Divisons les deux côtés de l’équation par 2 pour obtenir : \[ L + l = 33. \]

Étape 3 : Remplacer \(L\) par son expression en fonction de \(l\)

Nous savons que
\[ L = l + 15. \] Substituons cette expression dans l’équation obtenue : \[ (l + 15) + l = 33. \] En regroupant les termes semblables, nous avons : \[ 2l + 15 = 33. \]

Étape 4 : Résoudre l’équation pour \(l\)

Isolons \(l\) en soustrayant 15 des deux côtés : \[ 2l = 33 - 15, \] \[ 2l = 18. \] Divisons ensuite par 2 : \[ l = \frac{18}{2}, \] \[ l = 9. \]

Étape 5 : Déterminer \(L\) à partir de \(l\)

Utilisons la relation \(L = l + 15\) avec \(l = 9\) : \[ L = 9 + 15, \] \[ L = 24. \]

Conclusion

Les dimensions du rectangle sont donc :

• Largeur : \(l = 9\ \text{m}\)
• Longueur : \(L = 24\ \text{m}\)

Ces étapes permettent de déterminer clairement les dimensions du rectangle en appliquant les formules de base de la géométrie.