Résoudre les équations suivantes :
\[3(x-1) + 2(x+3) - 6x = -5\]
\[-(x-2) - 3(2x+1) - x = 7\]
\[-2x + 3(2x+7) - 9 = 0\]
\[-3(x+1) - 4(2x+1) - 3x = -35\]
\[7(2x+3) - 8(3x-1) + 15x = 9\]
\[5(5x-6) - 7(2x+3) - 4x = -2\]
Réponses : 1) x = 8, 2) x = –1, 3) x = –3, 4) x = 2, 5) x = –4, 6) x = 7.
Voici la correction détaillée de chacune des équations.
Nous devons résoudre : \[ 3(x-1) + 2(x+3) - 6x = -5. \]
Étape 1 : Développer les parenthèses
\[ \begin{aligned} 3(x-1) &= 3x - 3, \\ 2(x+3) &= 2x + 6. \end{aligned} \]
L’équation devient alors : \[ 3x - 3 + 2x + 6 - 6x = -5. \]
Étape 2 : Regrouper les termes semblables
Regroupons les termes en \(x\) et les constantes : \[ (3x + 2x - 6x) + (-3 + 6) = -5. \] Calculons : \[ (3x + 2x - 6x) = -x,\quad (-3 + 6) = 3. \] L’équation se simplifie en : \[ -x + 3 = -5. \]
Étape 3 : Isoler \(x\)
Soustrayons 3 des deux côtés : \[ -x = -5 - 3, \] \[ -x = -8. \] En multipliant par \(-1\) : \[ x = 8. \]
Nous devons résoudre : \[ -(x-2) - 3(2x+1) - x = 7. \]
Étape 1 : Développer les parenthèses
\[ \begin{aligned} -(x-2) &= -x + 2, \\ -3(2x+1) &= -6x - 3. \end{aligned} \]
L’équation devient : \[ (-x + 2) + (-6x - 3) - x = 7. \]
Étape 2 : Regrouper les termes semblables
Regroupons les termes en \(x\) : \[ (-x - 6x - x) = -8x, \] et les constantes : \[ 2 - 3 = -1. \] L’équation devient : \[ -8x - 1 = 7. \]
Étape 3 : Isoler \(x\)
Ajoutons 1 aux deux côtés : \[ -8x = 7 + 1, \] \[ -8x = 8. \] Divisons par \(-8\) : \[ x = -1. \]
Nous devons résoudre : \[ -2x + 3(2x+7) - 9 = 0. \]
Étape 1 : Développer les parenthèses
\[ 3(2x+7) = 6x + 21. \] L’équation devient : \[ -2x + 6x + 21 - 9 = 0. \]
Étape 2 : Regrouper les termes semblables
Les coefficients de \(x\) : \[ -2x + 6x = 4x, \] et les constantes : \[ 21 - 9 = 12. \] L’équation devient : \[ 4x + 12 = 0. \]
Étape 3 : Isoler \(x\)
Soustrayons 12 : \[ 4x = -12. \] Divisons par 4 : \[ x = -3. \]
Nous devons résoudre : \[ -3(x+1) - 4(2x+1) - 3x = -35. \]
Étape 1 : Développer les parenthèses
\[ \begin{aligned} -3(x+1) &= -3x - 3, \\ -4(2x+1) &= -8x - 4. \end{aligned} \]
L’équation devient : \[ -3x - 3 - 8x - 4 - 3x = -35. \]
Étape 2 : Regrouper les termes semblables
Regroupons les termes en \(x\) : \[ -3x - 8x - 3x = -14x, \] et les constantes : \[ -3 - 4 = -7. \] L’équation se simplifie en : \[ -14x - 7 = -35. \]
Étape 3 : Isoler \(x\)
Ajoutons 7 aux deux côtés : \[ -14x = -35 + 7, \] \[ -14x = -28. \] Divisons par \(-14\) : \[ x = 2. \]
Nous devons résoudre : \[ 7(2x+3) - 8(3x-1) + 15x = 9. \]
Étape 1 : Développer les parenthèses
\[ \begin{aligned} 7(2x+3) &= 14x + 21, \\ -8(3x-1) &= -24x + 8. \end{aligned} \]
L’équation devient : \[ 14x + 21 - 24x + 8 + 15x = 9. \]
Étape 2 : Regrouper les termes semblables
Les termes en \(x\) : \[ 14x - 24x + 15x = 5x, \] et les constantes : \[ 21 + 8 = 29. \] L’équation se simplifie en : \[ 5x + 29 = 9. \]
Étape 3 : Isoler \(x\)
Soustrayons 29 : \[ 5x = 9 - 29, \] \[ 5x = -20. \] Divisons par 5 : \[ x = -4. \]
Nous devons résoudre : \[ 5(5x-6) - 7(2x+3) - 4x = -2. \]
Étape 1 : Développer les parenthèses
\[ \begin{aligned} 5(5x-6) &= 25x - 30, \\ -7(2x+3) &= -14x - 21. \end{aligned} \]
L’équation devient : \[ 25x - 30 -14x - 21 - 4x = -2. \]
Étape 2 : Regrouper les termes semblables
Les termes en \(x\) : \[ 25x - 14x - 4x = 7x, \] et les constantes : \[ -30 - 21 = -51. \] L’équation se simplifie en : \[ 7x - 51 = -2. \]
Étape 3 : Isoler \(x\)
Ajoutons 51 aux deux côtés : \[ 7x = -2 + 51, \] \[ 7x = 49. \] Divisons par 7 : \[ x = 7. \]
Chaque étape a permis de simplifier l’équation en développant, regroupant les termes semblables et en isolant la variable \(x\). Ces méthodes sont fondamentales pour résoudre des équations linéaires.