Exercice : Résoudre chacune des équations suivantes pour \(x\) :
Réponses : x = 2, x = 3, x = –1, x = 7, x = –3, x = –2.
Voici la correction complète de chacune des équations :
\[ 2(5x-1) + 3(2x-9) = 3 \]
Étape 1 : Développer les parenthèses
\[ 2(5x-1) = 10x - 2 \quad \text{et} \quad 3(2x-9) = 6x - 27 \]
Étape 2 : Regrouper les termes semblables
\[ 10x - 2 + 6x - 27 = 3 \quad \Longrightarrow \quad 16x - 29 = 3 \]
Étape 3 : Isoler le terme en \(x\)
Ajouter 29 des deux côtés : \[ 16x - 29 + 29 = 3 + 29 \quad \Longrightarrow \quad 16x = 32 \]
Étape 4 : Trouver \(x\) en divisant par 16
\[ x = \frac{32}{16} = 2 \]
Solution de la première équation : \(\boxed{x = 2}\)
\[ 3(-x+7) + 2(7x-1) = 52 \]
Étape 1 : Développer les parenthèses
\[ 3(-x+7) = -3x + 21 \quad \text{et} \quad 2(7x-1) = 14x - 2 \]
Étape 2 : Regrouper les termes semblables
\[ -3x + 21 + 14x - 2 = 52 \quad \Longrightarrow \quad 11x + 19 = 52 \]
Étape 3 : Isoler \(x\) en soustrayant 19
\[ 11x = 52 - 19 \quad \Longrightarrow \quad 11x = 33 \]
Étape 4 : Diviser par 11
\[ x = \frac{33}{11} = 3 \]
Solution de la deuxième équation : \(\boxed{x = 3}\)
\[ 8(-5x+2) + 7(8x-2) = -14 \]
Étape 1 : Développer les parenthèses
\[ 8(-5x+2) = -40x + 16 \quad \text{et} \quad 7(8x-2) = 56x - 14 \]
Étape 2 : Regrouper les termes semblables
\[ -40x + 16 + 56x - 14 = -14 \quad \Longrightarrow \quad 16x + 2 = -14 \]
Étape 3 : Isoler \(x\) en soustrayant 2
\[ 16x = -14 - 2 \quad \Longrightarrow \quad 16x = -16 \]
Étape 4 : Diviser par 16
\[ x = \frac{-16}{16} = -1 \]
Solution de la troisième équation : \(\boxed{x = -1}\)
\[ 3(11x-9) - 4(7x-6) = 32 \]
Étape 1 : Développer les parenthèses
\[ 3(11x-9) = 33x - 27 \quad \text{et} \quad -4(7x-6) = -28x + 24 \]
Étape 2 : Regrouper les termes semblables
\[ 33x - 27 - 28x + 24 = 32 \quad \Longrightarrow \quad 5x - 3 = 32 \]
Étape 3 : Isoler \(x\) en ajoutant 3
\[ 5x = 32 + 3 \quad \Longrightarrow \quad 5x = 35 \]
Étape 4 : Diviser par 5
\[ x = \frac{35}{5} = 7 \]
Solution de la quatrième équation : \(\boxed{x = 7}\)
\[ 7(8x-1) + 13(-4x+1) = -6 \]
Étape 1 : Développer les parenthèses
\[ 7(8x-1) = 56x - 7 \quad \text{et} \quad 13(-4x+1) = -52x + 13 \]
Étape 2 : Regrouper les termes semblables
\[ 56x - 7 - 52x + 13 = -6 \quad \Longrightarrow \quad 4x + 6 = -6 \]
Étape 3 : Isoler \(x\) en soustrayant 6
\[ 4x = -6 - 6 \quad \Longrightarrow \quad 4x = -12 \]
Étape 4 : Diviser par 4
\[ x = \frac{-12}{4} = -3 \]
Solution de la cinquième équation : \(\boxed{x = -3}\)
\[ 5(6x+12) - 8(4x+7) = 8 \]
Étape 1 : Développer les parenthèses
\[ 5(6x+12) = 30x + 60 \quad \text{et} \quad -8(4x+7) = -32x - 56 \]
Étape 2 : Regrouper les termes semblables
\[ 30x + 60 - 32x - 56 = 8 \quad \Longrightarrow \quad -2x + 4 = 8 \]
Étape 3 : Isoler \(x\) en soustrayant 4
\[ -2x = 8 - 4 \quad \Longrightarrow \quad -2x = 4 \]
Étape 4 : Diviser par -2
\[ x = \frac{4}{-2} = -2 \]
Solution de la sixième équation : \(\boxed{x = -2}\)
Ces étapes montrent clairement comment résoudre chaque équation en développant, en regroupant les termes, et en isolant la variable.