Exercice 119

Résolvez les équations suivantes :

1. \(3(2x+1)=9\)
2. \(2(5x-7)=6\)
3. \(-5(7x-1)=-100\)
4. \(8(7x+2)=72\)
5. \(12(x-5)=96\)
6. \(4(5x+6)=-16\)

Réponse

Réponses : 1. x = 1
2. x = 2
3. x = 3
4. x = 1
5. x = 13
6. x = -2

Corrigé détaillé

Voici la correction détaillée pour résoudre chacune des équations données.

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1. Équation : \(3(2x+1)=9\)

1. Développement :
   Multiplier \(3\) par chacun des termes à l’intérieur de la parenthèse :
   \[ 3 \times 2x + 3 \times 1 = 6x + 3 \] L’équation devient :
   \[ 6x + 3 = 9 \]

2. Isoler le terme en \(x\) :
   Soustraire \(3\) des deux côtés pour se débarrasser du \(+3\) :
   \[ 6x + 3 - 3 = 9 - 3 \quad \Longrightarrow \quad 6x = 6 \]

3. Résoudre pour \(x\) :
   Diviser les deux côtés de l’équation par \(6\) :
   \[ x = \frac{6}{6} = 1 \]

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2. Équation : \(2(5x-7)=6\)

1. Développement :
   Multiplier \(2\) par chacun des termes dans la parenthèse :
   \[ 2 \times 5x - 2 \times 7 = 10x - 14 \] On obtient :
   \[ 10x - 14 = 6 \]

2. Isoler le terme en \(x\) :
   Ajouter \(14\) aux deux côtés pour éliminer le \(-14\) :
   \[ 10x - 14 + 14 = 6 + 14 \quad \Longrightarrow \quad 10x = 20 \]

3. Résoudre pour \(x\) :
   Diviser par \(10\) :
   \[ x = \frac{20}{10} = 2 \]

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3. Équation : \(-5(7x-1)=-100\)

1. Développement :
   Multiplier \(-5\) par chaque terme dans la parenthèse :
   \[ -5 \times 7x + (-5) \times (-1) = -35x + 5 \] L’équation devient :
   \[ -35x + 5 = -100 \]

2. Isoler le terme en \(x\) :
   Soustraire \(5\) des deux côtés :
   \[ -35x = -100 - 5 \quad \Longrightarrow \quad -35x = -105 \]

3. Résoudre pour \(x\) :
   Diviser par \(-35\) :
   \[ x = \frac{-105}{-35} = 3 \]

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4. Équation : \(8(7x+2)=72\)

1. Développement :
   Multiplier \(8\) par chaque terme dans la parenthèse :
   \[ 8 \times 7x + 8 \times 2 = 56x + 16 \] L’équation se transforme en :
   \[ 56x + 16 = 72 \]

2. Isoler le terme en \(x\) :
   Soustraire \(16\) des deux côtés :
   \[ 56x = 72 - 16 \quad \Longrightarrow \quad 56x = 56 \]

3. Résoudre pour \(x\) :
   Diviser par \(56\) :
   \[ x = \frac{56}{56} = 1 \]

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5. Équation : \(12(x-5)=96\)

1. Développement :
   Distribuer \(12\) dans la parenthèse :
   \[ 12 \times x - 12 \times 5 = 12x - 60 \] L’équation devient :
   \[ 12x - 60 = 96 \]

2. Isoler le terme en \(x\) :
   Ajouter \(60\) aux deux côtés :
   \[ 12x = 96 + 60 \quad \Longrightarrow \quad 12x = 156 \]

3. Résoudre pour \(x\) :
   Diviser par \(12\) :
   \[ x = \frac{156}{12} = 13 \]

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6. Équation : \(4(5x+6)=-16\)

1. Développement :
   Multiplier \(4\) par chaque terme dans la parenthèse :
   \[ 4 \times 5x + 4 \times 6 = 20x + 24 \] Cela donne :
   \[ 20x + 24 = -16 \]

2. Isoler le terme en \(x\) :
   Soustraire \(24\) des deux côtés pour éliminer le \(+24\) :
   \[ 20x = -16 - 24 \quad \Longrightarrow \quad 20x = -40 \]

3. Résoudre pour \(x\) :
   Diviser par \(20\) :
   \[ x = \frac{-40}{20} = -2 \]

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Résultats finaux :

1. Pour \(3(2x+1)=9\), on a \(x = 1\)
   
2. Pour \(2(5x-7)=6\), on a \(x = 2\)
   
3. Pour \(-5(7x-1)=-100\), on a \(x = 3\)
   
4. Pour \(8(7x+2)=72\), on a \(x = 1\)
   
5. Pour \(12(x-5)=96\), on a \(x = 13\)
   
6. Pour \(4(5x+6)=-16\), on a \(x = -2\)

Chaque étape consiste à distribuer, simplifier, puis isoler le terme contenant \(x\) afin de résoudre l’équation de manière claire et progressive.