Le tableau ci-dessous présente les mesures de différents trapèzes. Complétez chaque ligne en calculant la valeur manquante à l’aide d’une équation.
| Grande base | Petite base | Hauteur | Aire |
|---|---|---|---|
| ? | \(5\,\mathrm{cm}\) | \(3\,\mathrm{cm}\) | \(19,5\,\mathrm{cm}^2\) |
| \(12\,\mathrm{m}\) | ? | \(6\,\mathrm{m}\) | \(57\,\mathrm{m}^2\) |
| \(15\,\mathrm{m}\) | \(6\,\mathrm{m}\) | ? | \(73,5\,\mathrm{m}^2\) |
| \(8\,\mathrm{cm}\) | ? | \(4\,\mathrm{cm}\) | \(25\,\mathrm{cm}^2\) |
| \(10\,\mathrm{dm}\) | \(4\,\mathrm{dm}\) | ? | \(52,5\,\mathrm{dm}^2\) |
| ? | \(9\,\mathrm{m}\) | \(5\,\mathrm{m}\) | \(61\,\mathrm{m}^2\) |
| \(8,2\,\mathrm{cm}\) | ? | \(6,2\,\mathrm{cm}\) | \(39,06\,\mathrm{cm}^2\) |
Voici le résumé des réponses :
Nous allons utiliser la formule de l’aire d’un trapèze qui est donnée par
\[ A = \frac{(B + b) \times h}{2} \]
où
• \(B\) représente la grande
base,
• \(b\) la petite base,
• \(h\) la hauteur,
• \(A\) l’aire du trapèze.
Pour chaque ligne du tableau, nous allons établir une équation à l’aide de cette formule puis résoudre pour la valeur manquante.
Données :
• Petite base \(b =
5\,\text{cm}\)
• Hauteur \(h = 3\,\text{cm}\)
• Aire \(A = 19,5\,\text{cm}^2\)
• Grande base \(B = ?\)
Équation :
\[ 19,5 = \frac{(B + 5) \times 3}{2} \]
Étapes de résolution :
Multiplier chaque côté par 2 pour se débarrasser du dénominateur :
\[ 2 \times 19,5 = 3(B + 5) \]
\[ 39 = 3(B + 5) \]
Diviser par 3 :
\[ B + 5 = \frac{39}{3} = 13 \]
Soustraire 5 :
\[ B = 13 - 5 = 8 \]
Résultat : La grande base est de \(8\,\text{cm}\).
Données :
• Grande base \(B =
12\,\text{m}\)
• Hauteur \(h = 6\,\text{m}\)
• Aire \(A = 57\,\text{m}^2\)
• Petite base \(b = ?\)
Équation :
\[ 57 = \frac{(12 + b) \times 6}{2} \]
Étapes de résolution :
Multiplier par 2 :
\[ 114 = 6(12 + b) \]
Diviser par 6 :
\[ 12 + b = \frac{114}{6} = 19 \]
Soustraire 12 :
\[ b = 19 - 12 = 7 \]
Résultat : La petite base est de \(7\,\text{m}\).
Données :
• Grande base \(B =
15\,\text{m}\)
• Petite base \(b = 6\,\text{m}\)
• Aire \(A = 73,5\,\text{m}^2\)
• Hauteur \(h = ?\)
Équation :
\[ 73,5 = \frac{(15+6) \times h}{2} \]
On remarque que \(15 + 6 = 21\). Donc :
\[ 73,5 = \frac{21 \times h}{2} \]
Étapes de résolution :
Multiplier par 2 :
\[ 147 = 21h \]
Diviser par 21 :
\[ h = \frac{147}{21} = 7 \]
Résultat : La hauteur est de \(7\,\text{m}\).
Données :
• Grande base \(B =
8\,\text{cm}\)
• Hauteur \(h = 4\,\text{cm}\)
• Aire \(A = 25\,\text{cm}^2\)
• Petite base \(b = ?\)
Équation :
\[ 25 = \frac{(8 + b) \times 4}{2} \]
Étapes de résolution :
Simplifier la fraction en multipliant par 2 :
\[ 50 = 4(8 + b) \]
Diviser par 4 :
\[ 8 + b = \frac{50}{4} = 12,5 \]
Soustraire 8 :
\[ b = 12,5 - 8 = 4,5 \]
Résultat : La petite base est de \(4,5\,\text{cm}\).
Données :
• Grande base \(B =
10\,\text{dm}\)
• Petite base \(b =
4\,\text{dm}\)
• Aire \(A = 52,5\,\text{dm}^2\)
• Hauteur \(h = ?\)
Équation :
\[ 52,5 = \frac{(10 + 4) \times h}{2} \]
On remarque que \(10 + 4 = 14\). Ainsi :
\[ 52,5 = \frac{14h}{2} = 7h \]
Étapes de résolution :
Diviser par 7 :
\[ h = \frac{52,5}{7} = 7,5 \]
Résultat : La hauteur est de \(7,5\,\text{dm}\).
Données :
• Petite base \(b = 9\,\text{m}\)
• Hauteur \(h = 5\,\text{m}\)
• Aire \(A = 61\,\text{m}^2\)
• Grande base \(B = ?\)
Équation :
\[ 61 = \frac{(B + 9) \times 5}{2} \]
Étapes de résolution :
Multiplier par 2 :
\[ 122 = 5(B+9) \]
Diviser par 5 :
\[ B+9 = \frac{122}{5} = 24,4 \]
Soustraire 9 :
\[ B = 24,4 - 9 = 15,4 \]
Résultat : La grande base est de \(15,4\,\text{m}\).
Données :
• Grande base \(B =
8,2\,\text{cm}\)
• Hauteur \(h = 6,2\,\text{cm}\)
• Aire \(A = 39,06\,\text{cm}^2\)
• Petite base \(b = ?\)
Équation :
\[ 39,06 = \frac{(8,2 + b) \times 6,2}{2} \]
Étapes de résolution :
Multiplier par 2 :
\[ 78,12 = (8,2 + b) \times 6,2 \]
Diviser par 6,2 :
\[ 8,2 + b = \frac{78,12}{6,2} = 12,6 \]
Soustraire 8,2 :
\[ b = 12,6 - 8,2 = 4,4 \]
Résultat : La petite base est de \(4,4\,\text{cm}\).
| Grande base | Petite base | Hauteur | Aire |
|---|---|---|---|
| \(8\,\text{cm}\) | \(5\,\text{cm}\) | \(3\,\text{cm}\) | \(19,5\,\text{cm}^2\) |
| \(12\,\text{m}\) | \(7\,\text{m}\) | \(6\,\text{m}\) | \(57\,\text{m}^2\) |
| \(15\,\text{m}\) | \(6\,\text{m}\) | \(7\,\text{m}\) | \(73,5\,\text{m}^2\) |
| \(8\,\text{cm}\) | \(4,5\,\text{cm}\) | \(4\,\text{cm}\) | \(25\,\text{cm}^2\) |
| \(10\,\text{dm}\) | \(4\,\text{dm}\) | \(7,5\,\text{dm}\) | \(52,5\,\text{dm}^2\) |
| \(15,4\,\text{m}\) | \(9\,\text{m}\) | \(5\,\text{m}\) | \(61\,\text{m}^2\) |
| \(8,2\,\text{cm}\) | \(4,4\,\text{cm}\) | \(6,2\,\text{cm}\) | \(39,06\,\text{cm}^2\) |
Chaque ligne a été résolue en remplaçant les valeurs connues dans la formule de l’aire d’un trapèze puis en isolant la variable inconnue. Cela permet de déterminer de manière systématique la valeur manquante dans chaque cas.