Résoudre les équations suivantes :
\(-\frac{3}{5}x + \frac{5}{7} = -\frac{8}{21}\)
\(\frac{7}{15} = -\frac{4}{9} + \frac{7}{5}x\)
\(\frac{3}{4} x + \frac{5}{12} = \frac{7}{36}\)
\(-\frac{3}{34} x + \frac{4}{17} = -\frac{3}{2}\)
\(-\frac{4}{7} = \frac{5}{6} x - \frac{2}{9}\)
\(\frac{5}{12} + \frac{9}{20}x = -\frac{1}{30}\)
Réponses : 1) x = 115/63
2) x = 41/63
3) x = -8/27
4) x = 59/3
5) x = -44/105
6) x = -1
Voici la correction détaillée en plusieurs étapes pour chacune des équations.
Isoler le terme en \(x\) :
On commence par soustraire \(\frac{5}{7}\) des deux côtés : \[ -\frac{3}{5}x = -\frac{8}{21} - \frac{5}{7} \]
Mettre les fractions du côté droit sur un même dénominateur :
Le dénominateur commun de \(21\) et \(7\) est \(21\) : \[ -\frac{8}{21} - \frac{5}{7} = -\frac{8}{21} - \frac{15}{21} = -\frac{23}{21} \]
Écrire l’équation obtenue : \[ -\frac{3}{5}x = -\frac{23}{21} \]
Multiplier par l’inverse de \(-\frac{3}{5}\) pour isoler \(x\) :
L’inverse de \(-\frac{3}{5}\) est \(-\frac{5}{3}\) : \[ x = \left(-\frac{23}{21}\right) \times \left(-\frac{5}{3}\right) = \frac{23 \times 5}{21 \times 3} = \frac{115}{63} \]
Réponse 1 : \(\displaystyle x = \frac{115}{63}\).
Isoler le terme en \(x\) :
On ajoute \(\frac{4}{9}\) des deux côtés : \[ \frac{7}{15} + \frac{4}{9} = \frac{7}{5}x \]
Trouver un dénominateur commun pour \(15\) et \(9\) :
Le dénominateur commun est \(45\) : \[ \frac{7}{15} = \frac{21}{45} \quad \text{et} \quad \frac{4}{9} = \frac{20}{45} \] Donc, \[ \frac{21}{45} + \frac{20}{45} = \frac{41}{45} \]
Écrire l’équation : \[ \frac{7}{5}x = \frac{41}{45} \]
Isoler \(x\) en multipliant par l’inverse de \(\frac{7}{5}\) (c’est-à-dire \(\frac{5}{7}\)) : \[ x = \frac{41}{45} \times \frac{5}{7} = \frac{205}{315} \]
Simplifier la fraction :
Divisons numérateur et dénominateur par \(5\) : \[ \frac{205 \div 5}{315 \div 5} = \frac{41}{63} \]
Réponse 2 : \(\displaystyle x = \frac{41}{63}\).
Isoler le terme en \(x\) :
On soustrait \(\frac{5}{12}\) des deux côtés : \[ \frac{3}{4}x = \frac{7}{36} - \frac{5}{12} \]
Mettre les fractions sur un même dénominateur :
Le dénominateur commun de \(36\) et \(12\) est \(36\) : \[ \frac{5}{12} = \frac{15}{36} \] Ainsi, \[ \frac{7}{36} - \frac{15}{36} = -\frac{8}{36} = -\frac{2}{9} \]
L’équation devient : \[ \frac{3}{4}x = -\frac{2}{9} \]
Multiplier par l’inverse de \(\frac{3}{4}\) (soit \(\frac{4}{3}\)) pour isoler \(x\) : \[ x = -\frac{2}{9} \times \frac{4}{3} = -\frac{8}{27} \]
Réponse 3 : \(\displaystyle x = -\frac{8}{27}\).
Isoler le terme en \(x\) :
On soustrait \(\frac{4}{17}\) des deux côtés : \[ -\frac{3}{34}x = -\frac{3}{2} - \frac{4}{17} \]
Mettre les fractions sur un même dénominateur :
Le dénominateur commun de \(2\) et \(17\) est \(34\) : \[ -\frac{3}{2} = -\frac{51}{34} \quad \text{et} \quad \frac{4}{17} = \frac{8}{34} \] Alors : \[ -\frac{51}{34} - \frac{8}{34} = -\frac{59}{34} \]
L’équation devient : \[ -\frac{3}{34}x = -\frac{59}{34} \]
Isoler \(x\) en multipliant par l’inverse de \(-\frac{3}{34}\) (soit \(-\frac{34}{3}\)) : \[ x = -\frac{59}{34} \times \left(-\frac{34}{3}\right) = \frac{59}{3} \] (Le \(34\) se simplifie et le produit de deux signes négatifs donne un signe positif.)
Réponse 4 : \(\displaystyle x = \frac{59}{3}\).
Isoler le terme en \(x\) :
On ajoute \(\frac{2}{9}\) aux deux côtés : \[ -\frac{4}{7} + \frac{2}{9} = \frac{5}{6}x \]
Mettre les fractions sur un même dénominateur :
Le dénominateur commun de \(7\) et \(9\) est \(63\) : \[ -\frac{4}{7} = -\frac{36}{63} \quad \text{et} \quad \frac{2}{9} = \frac{14}{63} \] Ainsi, \[ -\frac{36}{63} + \frac{14}{63} = -\frac{22}{63} \]
L’équation devient : \[ \frac{5}{6}x = -\frac{22}{63} \]
Isoler \(x\) en multipliant par l’inverse de \(\frac{5}{6}\) (soit \(\frac{6}{5}\)) : \[ x = -\frac{22}{63} \times \frac{6}{5} = -\frac{132}{315} \]
Simplifier la fraction :
Divisons numérateur et dénominateur par \(3\) : \[ \frac{132 \div 3}{315 \div 3} = \frac{44}{105} \] Le signe négatif se conserve : \[ x = -\frac{44}{105} \]
Réponse 5 : \(\displaystyle x = -\frac{44}{105}\).
Isoler le terme en \(x\) :
On soustrait \(\frac{5}{12}\) des deux côtés : \[ \frac{9}{20}x = -\frac{1}{30} - \frac{5}{12} \]
Mettre les fractions sur un même dénominateur :
Le dénominateur commun de \(30\) et \(12\) peut être \(60\) : \[ -\frac{1}{30} = -\frac{2}{60} \quad \text{et} \quad \frac{5}{12} = \frac{25}{60} \] Ainsi, \[ -\frac{2}{60} - \frac{25}{60} = -\frac{27}{60} \] Simplifions en divisant numérateur et dénominateur par \(3\) : \[ -\frac{27 \div 3}{60 \div 3} = -\frac{9}{20} \]
L’équation devient : \[ \frac{9}{20}x = -\frac{9}{20} \]
Isoler \(x\) en divisant des deux côtés par \(\frac{9}{20}\) :
Comme \(\frac{9}{20}x \div \frac{9}{20} = x\), il suit : \[ x = -1 \]
Réponse 6 : \(\displaystyle x = -1\).
Chaque équation a donc été résolue en suivant une procédure étape par étape :
J’espère que cette correction détaillée vous aide à comprendre le processus de résolution des équations fractionnaires !