Résoudre les équations suivantes :
\(\frac{1}{3}x - \frac{3}{7} = \frac{2}{21}\)
\(\frac{3}{10} = \frac{2}{3}x - \frac{1}{5}\)
\(\frac{5}{12} = \frac{2}{8} - \frac{7}{4}x\)
\(\frac{2}{5} + \frac{4}{5}x = \frac{1}{4}\)
\(-\frac{4}{5}x + \frac{1}{2} = -\frac{5}{12}\)
\(-\frac{8}{35} = \frac{2}{7}x + \frac{4}{21}\)
Les solutions sont : 1) x = 11/7
2) x = 3/4
3) x = –2/21
4) x = –3/16
5) x = 55/48
6) x = –22/15
Voici la correction détaillée de chaque équation :
On souhaite résoudre : \[ \frac{1}{3}x - \frac{3}{7} = \frac{2}{21} \]
Étape 1 : Isoler le terme en \(x\)
Ajoutons \(\frac{3}{7}\) des deux côtés de l’équation : \[ \frac{1}{3}x = \frac{2}{21} + \frac{3}{7} \]
Étape 2 : Simplifier le côté droit
Pour additionner les deux fractions, il faut un dénominateur commun. Ici, le dénominateur commun est \(21\) : \[ \frac{3}{7} = \frac{3 \times 3}{7 \times 3} = \frac{9}{21} \] Donc, \[ \frac{1}{3}x = \frac{2}{21} + \frac{9}{21} = \frac{11}{21} \]
Étape 3 : Résoudre pour \(x\)
Multiplions les deux côtés par \(3\) (l’inverse de \(\frac{1}{3}\)) : \[ x = 3 \times \frac{11}{21} = \frac{33}{21} \] Simplifions en divisant le numérateur et le dénominateur par \(3\) : \[ x = \frac{11}{7} \]
On a : \[ \frac{3}{10} = \frac{2}{3}x - \frac{1}{5} \]
Étape 1 : Isoler le terme en \(x\)
Ajoutons \(\frac{1}{5}\) des deux côtés : \[ \frac{2}{3}x = \frac{3}{10} + \frac{1}{5} \]
Étape 2 : Additionner les fractions
Pour additionner, mettons les fractions sur le même dénominateur. Remarquons que : \[ \frac{1}{5} = \frac{2}{10} \] Ainsi, \[ \frac{2}{3}x = \frac{3}{10} + \frac{2}{10} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2} \]
Étape 3 : Trouver \(x\)
Multiplions par l’inverse de \(\frac{2}{3}\) (soit \(\frac{3}{2}\)) : \[ x = \frac{1}{2} \times \frac{3}{2} = \frac{3}{4} \]
Nous considérons : \[ \frac{5}{12} = \frac{2}{8} - \frac{7}{4}x \]
Étape 1 : Simplifier les fractions
Remarquons que : \[ \frac{2}{8} = \frac{1}{4} \] L’équation devient : \[ \frac{5}{12} = \frac{1}{4} - \frac{7}{4}x \]
Étape 2 : Éliminer les dénominateurs en multipliant par le dénominateur commun
Le dénominateur commun est \(12\). Multipliant chaque terme par \(12\) : \[ 12 \times \frac{5}{12} = 12 \times \frac{1}{4} - 12 \times \frac{7}{4}x \] \[ 5 = 3 - 21x \]
Étape 3 : Isoler \(x\)
Soustrayons \(3\) des deux côtés : \[ 5 - 3 = -21x \quad \Rightarrow \quad 2 = -21x \] Divisons par \(-21\) : \[ x = -\frac{2}{21} \]
On a : \[ \frac{2}{5} + \frac{4}{5}x = \frac{1}{4} \]
Étape 1 : Isoler le terme en \(x\)
Soustrayons \(\frac{2}{5}\) des deux côtés : \[ \frac{4}{5}x = \frac{1}{4} - \frac{2}{5} \]
Étape 2 : Additionner les fractions
Trouvons un dénominateur commun pour \(\frac{1}{4}\) et \(\frac{2}{5}\), ici \(20\) convient : \[ \frac{1}{4} = \frac{5}{20} \quad \text{et} \quad \frac{2}{5} = \frac{8}{20} \] Donc, \[ \frac{4}{5}x = \frac{5}{20} - \frac{8}{20} = -\frac{3}{20} \]
Étape 3 : Résoudre pour \(x\)
Multiplions par l’inverse de \(\frac{4}{5}\) qui est \(\frac{5}{4}\) : \[ x = -\frac{3}{20} \times \frac{5}{4} = -\frac{15}{80} \] Simplifions en divisant par \(5\) : \[ x = -\frac{3}{16} \]
L’équation est : \[ -\frac{4}{5}x + \frac{1}{2} = -\frac{5}{12} \]
Étape 1 : Isoler le terme en \(x\)
Soustrayons \(\frac{1}{2}\) des deux côtés : \[ -\frac{4}{5}x = -\frac{5}{12} - \frac{1}{2} \]
Étape 2 : Simplifier le côté droit
Convertissons \(\frac{1}{2}\) pour avoir le même dénominateur que \(\frac{5}{12}\). On écrit : \[ \frac{1}{2} = \frac{6}{12} \] Ainsi, \[ -\frac{4}{5}x = -\frac{5}{12} - \frac{6}{12} = -\frac{11}{12} \]
Étape 3 : Résoudre pour \(x\)
Il est souvent plus simple de multiplier par \(-1\) : \[ \frac{4}{5}x = \frac{11}{12} \] Puis, multiplions par l’inverse de \(\frac{4}{5}\) qui est \(\frac{5}{4}\) : \[ x = \frac{11}{12} \times \frac{5}{4} = \frac{55}{48} \]
L’équation à résoudre est : \[ -\frac{8}{35} = \frac{2}{7}x + \frac{4}{21} \]
Étape 1 : Isoler le terme en \(x\)
Soustrayons \(\frac{4}{21}\) des deux côtés : \[ \frac{2}{7}x = -\frac{8}{35} - \frac{4}{21} \]
Étape 2 : Additionner les fractions
Trouvons un dénominateur commun pour \(35\) et \(21\). Le dénominateur commun est \(105\) : \[ -\frac{8}{35} = -\frac{8 \times 3}{35 \times 3} = -\frac{24}{105} \] \[ -\frac{4}{21} = -\frac{4 \times 5}{21 \times 5} = -\frac{20}{105} \] Ainsi, \[ \frac{2}{7}x = -\frac{24}{105} - \frac{20}{105} = -\frac{44}{105} \]
Étape 3 : Résoudre pour \(x\)
Multiplions par l’inverse de \(\frac{2}{7}\) qui est \(\frac{7}{2}\) : \[ x = -\frac{44}{105} \times \frac{7}{2} = -\frac{44 \times 7}{105 \times 2} = -\frac{308}{210} \] Simplifions en divisant par \(14\) (car \(308 \div 14 = 22\) et \(210 \div 14 = 15\)) : \[ x = -\frac{22}{15} \]
Chaque équation a été résolue en isolant d’abord le terme contenant \(x\), puis en simplifiant les fractions et en multipliant par l’inverse du coefficient de \(x\). Cette méthode permet d’arriver progressivement à la solution finale de chaque exercice.