Exercice : Résoudre les équations suivantes
Voici les réponses finales résumées :
Voici la correction détaillée pour chacune des équations.
\[ x - \frac{4}{7} = -\frac{2}{3} \]
Étapes de résolution :
Pour isoler \(x\), on ajoute \(\frac{4}{7}\) de chaque côté de l’équation : \[ x = -\frac{2}{3} + \frac{4}{7} \]
Pour effectuer cette addition, il faut trouver un dénominateur commun. Ici, le dénominateur commun de 3 et 7 est \(21\).
On écrit les fractions avec le dénominateur 21 : \[ -\frac{2}{3} = -\frac{2 \times 7}{3 \times 7} = -\frac{14}{21} \quad \text{et} \quad \frac{4}{7} = \frac{4 \times 3}{7 \times 3} = \frac{12}{21} \]
On effectue l’addition : \[ x = -\frac{14}{21} + \frac{12}{21} = \frac{-14 + 12}{21} = -\frac{2}{21} \]
Réponse : \[ x = -\frac{2}{21} \]
\[ x - \frac{2}{3} = \frac{4}{5} \]
Étapes de résolution :
On ajoute \(\frac{2}{3}\) des deux côtés pour isoler \(x\) : \[ x = \frac{4}{5} + \frac{2}{3} \]
Pour additionner ces fractions, on cherche un dénominateur commun. Le dénominateur commun à 5 et 3 est \(15\).
On réécrit les fractions avec le dénominateur 15 : \[ \frac{4}{5} = \frac{4 \times 3}{5 \times 3} = \frac{12}{15} \quad \text{et} \quad \frac{2}{3} = \frac{2 \times 5}{3 \times 5} = \frac{10}{15} \]
On effectue l’addition : \[ x = \frac{12}{15} + \frac{10}{15} = \frac{12+10}{15} = \frac{22}{15} \]
Réponse : \[ x = \frac{22}{15} \]
\[ -\frac{5}{7} = x - \frac{2}{9} \]
Étapes de résolution :
On ajoute \(\frac{2}{9}\) des deux côtés pour isoler \(x\) : \[ x = -\frac{5}{7} + \frac{2}{9} \]
Trouvons un dénominateur commun pour les fractions. Pour 7 et 9, le dénominateur commun est \(63\).
On réécrit les fractions : \[ -\frac{5}{7} = -\frac{5 \times 9}{7 \times 9} = -\frac{45}{63} \quad \text{et} \quad \frac{2}{9} = \frac{2 \times 7}{9 \times 7} = \frac{14}{63} \]
Additionnons ces fractions : \[ x = -\frac{45}{63} + \frac{14}{63} = \frac{-45 + 14}{63} = -\frac{31}{63} \]
Réponse : \[ x = -\frac{31}{63} \]
\[ x - \frac{1}{2} = -\frac{3}{4} \]
Étapes de résolution :
Pour isoler \(x\), on ajoute \(\frac{1}{2}\) aux deux côtés : \[ x = -\frac{3}{4} + \frac{1}{2} \]
Pour additionner ces fractions, il faut un commun dénominateur. Pour 4 et 2, le dénominateur commun est \(4\).
On écrit la deuxième fraction avec le dénominateur 4 : \[ \frac{1}{2} = \frac{2}{4} \]
On effectue l’addition : \[ x = -\frac{3}{4} + \frac{2}{4} = -\frac{3-2}{4} = -\frac{1}{4} \]
Réponse : \[ x = -\frac{1}{4} \]
\[ \frac{5}{8} = x - \frac{7}{12} \]
Étapes de résolution :
On ajoute \(\frac{7}{12}\) des deux côtés pour isoler \(x\) : \[ x = \frac{5}{8} + \frac{7}{12} \]
Pour additionner ces fractions, trouvons un dénominateur commun. Pour 8 et 12, le dénominateur commun est \(24\).
Réécrivons les fractions : \[ \frac{5}{8} = \frac{5 \times 3}{8 \times 3} = \frac{15}{24} \quad \text{et} \quad \frac{7}{12} = \frac{7 \times 2}{12 \times 2} = \frac{14}{24} \]
Additionnons les deux fractions : \[ x = \frac{15}{24} + \frac{14}{24} = \frac{15+14}{24} = \frac{29}{24} \]
Réponse : \[ x = \frac{29}{24} \]
\[ x - \frac{12}{25} = \frac{4}{15} \]
Étapes de résolution :
On ajoute \(\frac{12}{25}\) des deux côtés pour isoler \(x\) : \[ x = \frac{4}{15} + \frac{12}{25} \]
Pour additionner ces fractions, nous trouvons un dénominateur commun pour 15 et 25. Le plus petit commun multiple est \(75\).
Réécrivons les fractions avec le dénominateur 75 : \[ \frac{4}{15} = \frac{4 \times 5}{15 \times 5} = \frac{20}{75} \quad \text{et} \quad \frac{12}{25} = \frac{12 \times 3}{25 \times 3} = \frac{36}{75} \]
On additionne les deux fractions : \[ x = \frac{20}{75} + \frac{36}{75} = \frac{20+36}{75} = \frac{56}{75} \]
Réponse : \[ x = \frac{56}{75} \]
Chaque étape a permis de montrer clairement comment isoler la variable \(x\) et comment trouver un dénominateur commun pour additionner des fractions. Ces méthodes garantissent une démarche solide pour résoudre des équations simples avec des fractions.