Résoudre chacune des équations suivantes :
Réponses : 1) x = -43/15, 2) x = -1/10, 3) x = 0, 4) x = -7/16, 5) x = -19/6, 6) x = -43/60.
Voici la correction détaillée de chacune des équations :
\[ x + \frac{12}{5} = -\frac{7}{15} \]
Étape 1 : Isoler \(x\) en soustrayant \(\frac{12}{5}\) des deux côtés :
\[ x = -\frac{7}{15} - \frac{12}{5} \]
Étape 2 : Pour effectuer la soustraction, il faut un dénominateur commun. Le dénominateur commun de 15 et 5 est 15. On écrit \(\frac{12}{5}\) sous forme équivalente :
\[ \frac{12}{5} = \frac{12 \times 3}{5 \times 3} = \frac{36}{15} \]
Étape 3 : On effectue la soustraction :
\[ x = -\frac{7}{15} - \frac{36}{15} = -\frac{7 + 36}{15} = -\frac{43}{15} \]
Réponse 1 : \(\displaystyle x = -\frac{43}{15}\).
\[ \frac{1}{4} = x + \frac{7}{20} \]
Étape 1 : Isoler \(x\) en soustrayant \(\frac{7}{20}\) des deux côtés :
\[ x = \frac{1}{4} - \frac{7}{20} \]
Étape 2 : Cherchons un dénominateur commun. Ici, 20 est un multiple de 4. On écrit \(\frac{1}{4}\) sous forme équivalente :
\[ \frac{1}{4} = \frac{5}{20} \]
Étape 3 : On effectue la soustraction :
\[ x = \frac{5}{20} - \frac{7}{20} = \frac{5-7}{20} = -\frac{2}{20} \]
Étape 4 : Simplifions la fraction :
\[ -\frac{2}{20} = -\frac{1}{10} \]
Réponse 2 : \(\displaystyle x = -\frac{1}{10}\).
\[ x + \frac{1}{2} = \frac{2}{4} \]
Étape 1 : Notez que \(\frac{2}{4}\) se simplifie :
\[ \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \]
L’équation devient alors :
\[ x + \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \]
Étape 2 : Soustrayons \(\frac{1}{2}\) des deux côtés pour isoler \(x\) :
\[ x = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} = 0 \]
Réponse 3 : \(\displaystyle x = 0\).
\[ x + \frac{5}{16} = -\frac{3}{24} \]
Étape 1 : Simplifions \(-\frac{3}{24}\). Divisons le numérateur et le dénominateur par 3 :
\[ -\frac{3}{24} = -\frac{1}{8} \]
L’équation devient :
\[ x + \frac{5}{16} = -\frac{1}{8} \]
Étape 2 : Exprimons \(-\frac{1}{8}\) avec le même dénominateur que \(\frac{5}{16}\). On a :
\[ -\frac{1}{8} = -\frac{2}{16} \]
Étape 3 : Isolons \(x\) en soustrayant \(\frac{5}{16}\) :
\[ x = -\frac{2}{16} - \frac{5}{16} = -\frac{2 + 5}{16} = -\frac{7}{16} \]
Réponse 4 : \(\displaystyle x = -\frac{7}{16}\).
\[ x + \frac{7}{2} = \frac{1}{3} \]
Étape 1 : Isolons \(x\) en soustrayant \(\frac{7}{2}\) des deux côtés :
\[ x = \frac{1}{3} - \frac{7}{2} \]
Étape 2 : Cherchons un dénominateur commun pour les fractions. Le dénominateur commun de 3 et 2 est 6.
\[ \frac{1}{3} = \frac{2}{6} \quad \text{et} \quad \frac{7}{2} = \frac{21}{6} \]
Étape 3 : Effectuons la soustraction :
\[ x = \frac{2}{6} - \frac{21}{6} = \frac{2-21}{6} = -\frac{19}{6} \]
Réponse 5 : \(\displaystyle x = -\frac{19}{6}\).
\[ x + \frac{3}{10} = -\frac{5}{12} \]
Étape 1 : Isolons \(x\) en soustrayant \(\frac{3}{10}\) :
\[ x = -\frac{5}{12} - \frac{3}{10} \]
Étape 2 : Trouvons un dénominateur commun pour 12 et 10. Le plus petit multiple commun est 60.
\[ -\frac{5}{12} = -\frac{5 \times 5}{12 \times 5} = -\frac{25}{60} \quad \text{et} \quad \frac{3}{10} = \frac{3 \times 6}{10 \times 6} = \frac{18}{60} \]
Étape 3 : Appliquons la soustraction :
\[ x = -\frac{25}{60} - \frac{18}{60} = -\frac{25 + 18}{60} = -\frac{43}{60} \]
Réponse 6 : \(\displaystyle x = -\frac{43}{60}\).
Ces étapes détaillées montrent comment isoler la variable \(x\) et effectuer les calculs avec des fractions en utilisant des dénominateurs communs pour pouvoir additionner ou soustraire correctement les fractions.