Exercice 83

Exercice

Résoudre les équations suivantes :

1. \(x + \frac{3}{4} = \frac{7}{8}\)

2. \(x + \frac{1}{5} = \frac{3}{10}\)

3. \(x + \frac{2}{3} = \frac{3}{4}\)

4. \(x + \frac{2}{9} = \frac{5}{6}\)

5. \(x + \frac{3}{10} = \frac{4}{5}\)

6. \(\frac{4}{7} = x + \frac{7}{5}\)

Réponse

Réponses : 1) x = 1/8
2) x = 1/10
3) x = 1/12
4) x = 11/18
5) x = 1/2
6) x = -29/35

Corrigé détaillé

Voici la correction détaillée de chaque équation :

---

1) Équation

\[ x + \frac{3}{4} = \frac{7}{8} \]

Étapes :

1. Isoler \(x\) en soustrayant \(\frac{3}{4}\) des deux côtés de l’équation :

   \[ x = \frac{7}{8} - \frac{3}{4} \]

2. Pour effectuer la soustraction, mettons les deux fractions sur un même dénominateur. On remarque que \(\frac{3}{4} = \frac{3 \times 2}{4 \times 2} = \frac{6}{8}\).

3. On a donc :

   \[ x = \frac{7}{8} - \frac{6}{8} = \frac{7-6}{8} = \frac{1}{8} \]

Réponse : \(x = \frac{1}{8}\)

---

2) Équation

\[ x + \frac{1}{5} = \frac{3}{10} \]

Étapes :

1. Isoler \(x\) en soustrayant \(\frac{1}{5}\) :

   \[ x = \frac{3}{10} - \frac{1}{5} \]

2. Pour effectuer la soustraction, exprimons \(\frac{1}{5}\) avec le même dénominateur que \(\frac{3}{10}\). On a :

   \[ \frac{1}{5} = \frac{1 \times 2}{5 \times 2} = \frac{2}{10} \]

3. Ainsi :

   \[ x = \frac{3}{10} - \frac{2}{10} = \frac{3-2}{10} = \frac{1}{10} \]

Réponse : \(x = \frac{1}{10}\)

---

3) Équation

\[ x + \frac{2}{3} = \frac{3}{4} \]

Étapes :

1. Isoler \(x\) :

   \[ x = \frac{3}{4} - \frac{2}{3} \]

2. Pour effectuer la soustraction, trouvons un dénominateur commun pour \(\frac{3}{4}\) et \(\frac{2}{3}\). Le plus petit commun dénominateur est \(12\).

   \[ \frac{3}{4} = \frac{3 \times 3}{4 \times 3} = \frac{9}{12} \quad \text{et} \quad \frac{2}{3} = \frac{2 \times 4}{3 \times 4} = \frac{8}{12} \]

3. La soustraction devient :

   \[ x = \frac{9}{12} - \frac{8}{12} = \frac{9-8}{12} = \frac{1}{12} \]

Réponse : \(x = \frac{1}{12}\)

---

4) Équation

\[ x + \frac{2}{9} = \frac{5}{6} \]

Étapes :

1. Isoler \(x\) :

   \[ x = \frac{5}{6} - \frac{2}{9} \]

2. Pour soustraire, trouvons un dénominateur commun pour \(6\) et \(9\). Le plus petit commun dénominateur est \(18\).

   \[ \frac{5}{6} = \frac{5 \times 3}{6 \times 3} = \frac{15}{18},\quad \frac{2}{9} = \frac{2 \times 2}{9 \times 2} = \frac{4}{18} \]

3. La soustraction :

   \[ x = \frac{15}{18} - \frac{4}{18} = \frac{15-4}{18} = \frac{11}{18} \]

Réponse : \(x = \frac{11}{18}\)

---

5) Équation

\[ x + \frac{3}{10} = \frac{4}{5} \]

Étapes :

1. Isoler \(x\) :

   \[ x = \frac{4}{5} - \frac{3}{10} \]

2. Pour effectuer la soustraction, mettons les deux fractions sur un même dénominateur. On note que :

   \[ \frac{4}{5} = \frac{4 \times 2}{5 \times 2} = \frac{8}{10} \]

3. La soustraction devient :

   \[ x = \frac{8}{10} - \frac{3}{10} = \frac{8-3}{10} = \frac{5}{10} \]

4. Simplifions la fraction :

   \[ \frac{5}{10} = \frac{1}{2} \]

Réponse : \(x = \frac{1}{2}\)

---

6) Équation

\[ \frac{4}{7} = x + \frac{7}{5} \]

Étapes :

1. Isoler \(x\) en soustrayant \(\frac{7}{5}\) de chaque côté :

   \[ x = \frac{4}{7} - \frac{7}{5} \]

2. Pour réaliser la soustraction, trouvons un dénominateur commun. Le dénominateur commun de \(7\) et \(5\) est \(35\).

   \[ \frac{4}{7} = \frac{4 \times 5}{7 \times 5} = \frac{20}{35},\quad \frac{7}{5} = \frac{7 \times 7}{5 \times 7} = \frac{49}{35} \]

3. Effectuons la soustraction :

   \[ x = \frac{20}{35} - \frac{49}{35} = \frac{20-49}{35} = \frac{-29}{35} \]

Réponse : \(x = -\frac{29}{35}\)

---

Chaque étape a permis de transformer l’équation initiale pour isoler la variable \(x\) et trouver la solution finale.