Exercice 77

Exercice :

Déterminer les nombres tels que :

1. Le double de l’inconnu est égal à \(\frac{3}{4}\).
2. Les deux cinquièmes de l’inconnu sont égaux à \(\frac{3}{4}\).
3. Le quadruple de l’inconnu est égal à \(\frac{15}{2}\).
4. Les \(\frac{7}{6}\) de l’inconnu sont égaux à 1.
5. La moitié de l’inconnu est égale à \(\frac{2}{3}\).
6. Les \(\frac{3}{5}\) de l’inconnu sont égaux à \(\frac{4}{3}\).
7. Le quart de l’inconnu est égal à \(\frac{3}{8}\).

Résoudre par écrit les équations correspondantes (exercices 580 à 588).

Réponse

1. x = 3/8
   
2. x = 15/8
   
3. x = 15/8
   
4. x = 6/7
   
5. x = 4/3
   
6. x = 20/9
   
7. x = 3/2

Corrigé détaillé

Voici la correction détaillée pour chaque équation proposée :

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1) Le double de l’inconnu est égal à \(\frac{3}{4}\)

On traduit l’énoncé par l’équation suivante : \[ 2x = \frac{3}{4} \]

Étapes de la résolution :

1. Pour isoler \(x\), on divise chaque côté de l’équation par 2 : \[ x = \frac{\frac{3}{4}}{2} \]
2. Diviser par 2 revient à multiplier par \(\frac{1}{2}\) : \[ x = \frac{3}{4} \times \frac{1}{2} = \frac{3}{8} \]

Réponse : \(x = \frac{3}{8}\)

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2) Les deux cinquièmes de l’inconnu sont égaux à \(\frac{3}{4}\)

L’équation se traduit par : \[ \frac{2}{5}x = \frac{3}{4} \]

Étapes de la résolution :

1. Pour isoler \(x\), on divise chaque côté par \(\frac{2}{5}\) ou, plus simplement, on multiplie par son réciproque \(\frac{5}{2}\) : \[ x = \frac{3}{4} \times \frac{5}{2} \]
2. Calculons le produit : \[ x = \frac{3 \times 5}{4 \times 2} = \frac{15}{8} \]

Réponse : \(x = \frac{15}{8}\)

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3) Le quadruple de l’inconnu est égal à \(\frac{15}{2}\)

On écrit l’équation ainsi : \[ 4x = \frac{15}{2} \]

Étapes de la résolution :

1. Divisons chaque côté par 4 pour isoler \(x\) : \[ x = \frac{\frac{15}{2}}{4} \]
2. Diviser par 4 équivaut à multiplier par \(\frac{1}{4}\) : \[ x = \frac{15}{2} \times \frac{1}{4} = \frac{15}{8} \]

Réponse : \(x = \frac{15}{8}\)

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4) Les \(\frac{7}{6}\) de l’inconnu sont égaux à 1

L’équation correspondante est : \[ \frac{7}{6}x = 1 \]

Étapes de la résolution :

1. Pour isoler \(x\), on multiplie les deux côtés par le réciproque de \(\frac{7}{6}\), c’est-à-dire \(\frac{6}{7}\) : \[ x = 1 \times \frac{6}{7} = \frac{6}{7} \]

Réponse : \(x = \frac{6}{7}\)

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5) La moitié de l’inconnu est égale à \(\frac{2}{3}\)

On se traduit l’énoncé par : \[ \frac{1}{2}x = \frac{2}{3} \]

Étapes de la résolution :

1. Isolons \(x\) en multipliant chaque côté par 2 (le réciproque de \(\frac{1}{2}\)) : \[ x = \frac{2}{3} \times 2 \]
2. Effectuons la multiplication : \[ x = \frac{4}{3} \]

Réponse : \(x = \frac{4}{3}\)

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6) Les \(\frac{3}{5}\) de l’inconnu sont égaux à \(\frac{4}{3}\)

L’équation est : \[ \frac{3}{5}x = \frac{4}{3} \]

Étapes de la résolution :

1. Pour isoler \(x\), multiplions par le réciproque de \(\frac{3}{5}\), soit \(\frac{5}{3}\) : \[ x = \frac{4}{3} \times \frac{5}{3} \]
2. Calculons le produit : \[ x = \frac{4 \times 5}{3 \times 3} = \frac{20}{9} \]

Réponse : \(x = \frac{20}{9}\)

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7) Le quart de l’inconnu est égal à \(\frac{3}{8}\)

L’équation à résoudre est : \[ \frac{1}{4}x = \frac{3}{8} \]

Étapes de la résolution :

1. Pour isoler \(x\), multiplions chaque côté par 4 (le réciproque de \(\frac{1}{4}\)) : \[ x = \frac{3}{8} \times 4 \]
2. Effectuons la multiplication : \[ x = \frac{3 \times 4}{8} = \frac{12}{8} \]
3. Simplifions la fraction : \[ x = \frac{3}{2} \]

Réponse : \(x = \frac{3}{2}\)

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Ces résolutions montrent comment transformer chaque énoncé en une équation et utiliser les opérations de base pour isoler l’inconnue \(x\). Chaque étape a été détaillée pour aider à la compréhension.