Résoudre les équations suivantes pour \(x\) :
Voici le résumé des réponses :
Voici une correction détaillée pour chacune des équations proposées :
\[ \frac{5}{8}x = -\frac{17}{16} \]
Étapes de résolution :
On cherche à isoler \(x\). Pour ce faire, on peut multiplier les deux côtés de l’équation par l’inverse de \(\frac{5}{8}\), c’est-à-dire \(\frac{8}{5}\).
On a donc : \[ x = -\frac{17}{16} \times \frac{8}{5} \]
Multiplions les numérateurs et les dénominateurs : \[ x = -\frac{17 \times 8}{16 \times 5} \]
Simplifions en remarquant que \(8\) et \(16\) ont un facteur commun (on a \(8 \div 8 = 1\) et \(16 \div 8 = 2\)) : \[ x = -\frac{17 \times 1}{2 \times 5} = -\frac{17}{10} \]
Réponse : \(x = -\frac{17}{10}\)
\[ -\frac{19}{21}x = \frac{5}{28} \]
Étapes de résolution :
Pour isoler \(x\), multiplions les deux côtés par l’inverse de \(-\frac{19}{21}\), qui est \(-\frac{21}{19}\) : \[ x = \frac{5}{28} \times \left(-\frac{21}{19}\right) \]
Effectuons la multiplication : \[ x = -\frac{5 \times 21}{28 \times 19} \]
Simplifions \(\frac{21}{28}\)
:
\(21\) et \(28\) se simplifient en divisant par 7
:
\(21 \div 7 = 3\) et \(28 \div 7 = 4\).
Ainsi, \[
x = -\frac{5 \times 3}{4 \times 19} = -\frac{15}{76}
\]
Réponse : \(x = -\frac{15}{76}\)
\[ -\frac{2}{3}x = -\frac{5}{9} \]
Étapes de résolution :
Pour isoler \(x\), multiplions les deux côtés par l’inverse de \(-\frac{2}{3}\), c’est-à-dire \(-\frac{3}{2}\) : \[ x = -\frac{5}{9} \times \left(-\frac{3}{2}\right) \]
Le produit de deux nombres négatifs est positif, donc : \[ x = \frac{5}{9} \times \frac{3}{2} \]
Multiplions les numérateurs et les dénominateurs : \[ x = \frac{5 \times 3}{9 \times 2} = \frac{15}{18} \]
Simplifions \(\frac{15}{18}\) en divisant numérateur et dénominateur par 3 : \[ x = \frac{5}{6} \]
Réponse : \(x = \frac{5}{6}\)
\[ \frac{12}{35}x = -\frac{20}{77} \]
Étapes de résolution :
Multiplions les deux côtés par l’inverse de \(\frac{12}{35}\) soit \(\frac{35}{12}\) : \[ x = -\frac{20}{77} \times \frac{35}{12} \]
Effectuons la multiplication : \[ x = -\frac{20 \times 35}{77 \times 12} \]
Simplifions en annulant des facteurs communs :
\(20\) et \(12\) ont un facteur commun \(4\) :
\(20 \div 4 = 5\) et \(12 \div 4 = 3\).
Ainsi, \[ x = -\frac{5 \times 35}{77 \times 3} \]
De plus, \(35\) et \(77\) ont un facteur commun \(7\) :
\(35 \div 7 = 5\) et \(77 \div 7 = 11\).
La fraction devient : \[ x = -\frac{5 \times 5}{11 \times 3} = -\frac{25}{33} \]
Réponse : \(x = -\frac{25}{33}\)
\[ -\frac{27}{35} = -\frac{18}{5}x \]
Étapes de résolution :
Pour isoler \(x\), divisons chaque côté par \(-\frac{18}{5}\). Autrement, multiplions par son inverse \(-\frac{5}{18}\) : \[ x = -\frac{27}{35} \times \left(-\frac{5}{18}\right) \]
Le produit de deux nombres négatifs donne un nombre positif : \[ x = \frac{27 \times 5}{35 \times 18} \]
Simplifions :
Simplifions \(27\) et \(18\) en divisant les deux par 9 :
\(27 \div 9 = 3\) et \(18 \div 9 = 2\).
Ainsi, \[
x = \frac{3 \times 5}{35 \times 2} = \frac{15}{70}
\]
Enfin, simplifions \(\frac{15}{70}\) en divisant par 5 :
\(15 \div 5 = 3\) et \(70 \div 5 = 14\).
Ainsi, \[
x = \frac{3}{14}
\]
Réponse : \(x = \frac{3}{14}\)
\[ -\frac{63}{35}x = \frac{108}{125} \]
Étapes de résolution :
Multiplions les deux côtés par l’inverse de \(-\frac{63}{35}\), qui est \(-\frac{35}{63}\) : \[ x = \frac{108}{125} \times \left(-\frac{35}{63}\right) \]
Effectuons la multiplication : \[ x = -\frac{108 \times 35}{125 \times 63} \]
Simplifions la fraction :
Remarquons que \(108\) et \(63\) se simplifient en divisant par 9
:
\(108 \div 9 = 12\) et \(63 \div 9 = 7\).
On obtient : \[
x = -\frac{12 \times 35}{125 \times 7}
\]
Simplifions ensuite \(35\) et
\(7\) :
\(35 \div 7 = 5\) et \(7 \div 7 = 1\).
Ainsi, \[
x = -\frac{12 \times 5}{125} = -\frac{60}{125}
\]
Enfin, simplifions \(\frac{60}{125}\) en divisant numérateur et
dénominateur par 5 :
\(60 \div 5 = 12\) et \(125 \div 5 = 25\).
Ainsi, \[
x = -\frac{12}{25}
\]
Réponse : \(x = -\frac{12}{25}\)
Chaque équation a été résolue en isolant \(x\) grâce à l’inverse de la fraction qui
multiplie \(x\).
Ces méthodes de simplification et de manipulation de fractions sont
essentielles pour résoudre ce type d’équations efficacement.