Exercice
Résoudre chacune des équations suivantes pour \(x\) :
Les solutions sont : 1) x = -45/98, 2) x = -63/8, 3) x = -8/147, 4) x = 35/108, 5) x = -64/45, 6) x = -140/39.
Voici une correction détaillée pour résoudre chacune des équations.
Nous devons résoudre :
\[ \frac{7}{15}x = -\frac{3}{14} \]
Étape 1 : Isoler \(x\)
Pour isoler \(x\), multiplions les deux
membres de l’équation par l’inverse de \(\frac{7}{15}\), c’est-à-dire par \(\frac{15}{7}\) :
\[ x = \left(-\frac{3}{14}\right) \times \frac{15}{7} \]
Étape 2 : Effectuer la multiplication des
fractions
Multiplier les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux
:
\[ x = -\frac{3 \times 15}{14 \times 7} = -\frac{45}{98} \]
Il est impossible de simplifier davantage cette fraction, donc :
\[ \boxed{x = -\frac{45}{98}} \]
Nous avons :
\[ \frac{1}{7}x = -\frac{9}{8} \]
Étape 1 : Isoler \(x\)
Multiplions par 7, l’inverse de \(\frac{1}{7}\) :
\[ x = -\frac{9}{8} \times 7 \]
Étape 2 : Effectuer la multiplication
\[ x = -\frac{9 \times 7}{8} = -\frac{63}{8} \]
La fraction est déjà sous forme simplifiée. Ainsi,
\[ \boxed{x = -\frac{63}{8}} \]
L’équation donnée est :
\[ \frac{49}{4}x = -\frac{2}{3} \]
Étape 1 : Isoler \(x\)
Multiplions par l’inverse de \(\frac{49}{4}\), c’est-à-dire \(\frac{4}{49}\) :
\[ x = -\frac{2}{3} \times \frac{4}{49} \]
Étape 2 : Effectuer la multiplication
\[ x = -\frac{2 \times 4}{3 \times 49} = -\frac{8}{147} \]
Aucune simplification n’est possible, donc :
\[ \boxed{x = -\frac{8}{147}} \]
Nous avons :
\[ -\frac{12}{5}x = -\frac{7}{9} \]
Étape 1 : Isoler \(x\)
Nous multiplions par l’inverse de \(-\frac{12}{5}\), c’est-à-dire \(-\frac{5}{12}\) :
\[ x = -\frac{7}{9} \times \left(-\frac{5}{12}\right) \]
Étape 2 : Multiplication et simplification
Le produit de deux nombres négatifs donne un nombre positif :
\[ x = \frac{7}{9} \times \frac{5}{12} = \frac{7 \times 5}{9 \times 12} = \frac{35}{108} \]
La fraction \(\frac{35}{108}\) est sous forme irréductible, ainsi :
\[ \boxed{x = \frac{35}{108}} \]
L’équation est :
\[ \frac{15}{16}x = -\frac{4}{3} \]
Étape 1 : Isoler \(x\)
Multiplions par l’inverse de \(\frac{15}{16}\), soit \(\frac{16}{15}\) :
\[ x = -\frac{4}{3} \times \frac{16}{15} \]
Étape 2 : Effectuer la multiplication
\[ x = -\frac{4 \times 16}{3 \times 15} = -\frac{64}{45} \]
La fraction ne peut être simplifiée davantage, donc :
\[ \boxed{x = -\frac{64}{45}} \]
Enfin, considérons :
\[ -\frac{3}{70}x = \frac{2}{13} \]
Étape 1 : Isoler \(x\)
Pour cela, multiplions par l’inverse de \(-\frac{3}{70}\), c’est-à-dire \(-\frac{70}{3}\) :
\[ x = \frac{2}{13} \times \left(-\frac{70}{3}\right) \]
Étape 2 : Multiplication
\[ x = -\frac{2 \times 70}{13 \times 3} = -\frac{140}{39} \]
Vérifions la simplification : 140 et 39 n’ont pas de diviseur commun autre que 1, donc :
\[ \boxed{x = -\frac{140}{39}} \]
\(\displaystyle x = -\frac{45}{98}\)
\(\displaystyle x = -\frac{63}{8}\)
\(\displaystyle x = -\frac{8}{147}\)
\(\displaystyle x = \frac{35}{108}\)
\(\displaystyle x = -\frac{64}{45}\)
\(\displaystyle x = -\frac{140}{39}\)
Chaque étape a permis d’isoler \(x\) en multipliant par l’inverse de la fraction qui multiplie \(x\). Cette méthode est essentielle pour résoudre ce type d’équation.