Exercice
Pour chaque équation suivante, déterminer le ou les nombres \(x\) qui satisfont l’équation, si une solution existe :
\(\sqrt[3]{x} = -27\).
\(\sqrt[x]{81} = 3\).
\(\sqrt[x]{-125} = -5\).
\(\sqrt[x]{-3 + 7} = 2\).
\(\sqrt[x]{5 - 32} = -3\).
\(\sqrt{(-4) - x} = -4\).
\(\sqrt[3]{7 - x} = -4\).
\(\sqrt[3]{4 - x} = 64\).
Solutions : 1) x = -19683
2) x = 4
3) x = 3
4) x = 2
5) x = 3
6) Pas de solution
7) x = 71
8) x = -262140
Voici la correction détaillée de chaque équation, avec une explication pas à pas :
Étape 1 : Écrire l’équation
Nous avons : \[
\sqrt[3]{x} = -27
\]
Étape 2 : Élever au cube
Pour se débarrasser de la racine cubique, on élève les deux côtés de
l’équation au cube : \[
\left(\sqrt[3]{x}\right)^3 = (-27)^3
\] Ce qui donne : \[
x = (-27)^3
\]
Étape 3 : Calculer \((-27)^3\)
On calcule : \[
(-27)^3 = -27 \times -27 \times -27 = -19683.
\]
Conclusion
La solution de l’équation est : \[
\boxed{x = -19683}
\]
Interprétation de la notation
La notation \(\sqrt[x]{81}\) signifie
que l’on prend la racine d’indice \(x\)
de 81, c’est-à-dire : \[
81^{\frac{1}{x}} = 3.
\]
Étape 1 : Élever les deux côtés à la puissance \(x\)
On élève chaque côté à la puissance \(x\) pour éliminer l’exposant fractionnaire
: \[
\left(81^{\frac{1}{x}}\right)^x = 3^x
\] Ce qui donne : \[
81 = 3^x.
\]
Étape 2 : Réécrire 81 en puissance de 3
On sait que : \[
81 = 3^4.
\] Ainsi, on a : \[
3^4 = 3^x.
\]
Étape 3 : Égalité des exposants
Puisque la fonction exponentielle de base 3 est strictement croissante,
il faut avoir : \[
x = 4.
\]
Conclusion
La solution de l’équation est : \[
\boxed{x = 4}
\]
Interprétation de la notation
Ici, \(\sqrt[x]{-125}\) signifie :
\[
(-125)^{\frac{1}{x}} = -5.
\]
Étape 1 : Élever chaque côté à la puissance \(x\)
On obtient : \[
\left((-125)^{\frac{1}{x}}\right)^x = (-5)^x,
\] donc : \[
-125 = (-5)^x.
\]
Étape 2 : Réécrire -125 en puissance de -5
On remarque que : \[
(-5)^3 = -125.
\]
Étape 3 : Identifier l’exposant
L’égalité donne alors : \[
(-5)^x = (-5)^3 \quad \Longrightarrow \quad x = 3.
\]
Conclusion
La solution de l’équation est : \[
\boxed{x = 3}
\]
Étape 1 : Simplifier l’expression sous la
racine
Calculons l’expression dans le radicande : \[
-3 + 7 = 4.
\] L’équation devient : \[
\sqrt[x]{4} = 2,
\] ce qui signifie : \[
4^{\frac{1}{x}} = 2.
\]
Étape 2 : Élever à la puissance \(x\)
Pour se débarrasser de l’exposant fractionnaire, on élève chaque côté à
la puissance \(x\) : \[
4 = 2^x.
\]
Étape 3 : Réécrire 4 en puissance de 2
On sait que : \[
4 = 2^2.
\] Donc l’équation devient : \[
2^2 = 2^x.
\]
Étape 4 : Identifier l’exposant
On déduit : \[
x = 2.
\]
Conclusion
La solution de l’équation est : \[
\boxed{x = 2}
\]
Étape 1 : Simplifier l’expression
Calculons le radicande : \[
5 - 32 = -27.
\] L’équation se réécrit alors : \[
\sqrt[x]{-27} = -3,
\] ce qui signifie : \[
(-27)^{\frac{1}{x}} = -3.
\]
Étape 2 : Élever à la puissance \(x\)
On élève chaque côté à la puissance \(x\) : \[
(-27) = (-3)^x.
\]
Étape 3 : Réécrire -27 en puissance de -3
On constate que : \[
(-3)^3 = -27.
\]
Étape 4 : Identifier l’exposant
L’égalité s’écrit alors : \[
(-3)^x = (-3)^3 \quad \Longrightarrow \quad x = 3.
\]
Conclusion
La solution de l’équation est : \[
\boxed{x = 3}
\]
Étape 1 : Analyser la fonction racine carrée
La fonction racine carrée (notée \(\sqrt{\phantom{x}}\)) renvoie toujours une
valeur positive ou nulle. Par définition, \(\sqrt{a} \ge 0\) pour tout \(a \ge 0\). Ici, le membre de gauche est
donc toujours positif ou nul.
Étape 2 : Comparaison avec le membre de droite
Le côté droit est \(-4\), qui est
négatif. Une égalité entre un nombre toujours positif (ou nul) et un
nombre négatif est impossible.
Conclusion
L’équation ne possède aucune solution : \[
\boxed{\text{Pas de solution}}
\]
Étape 1 : Écrire l’équation
On a : \[
\sqrt[3]{7 - x} = -4.
\]
Étape 2 : Élever au cube
La racine cubique est définie pour tout réel et est une fonction
bijective, on peut donc élever les deux côtés au cube : \[
\left(\sqrt[3]{7 - x}\right)^3 = (-4)^3.
\] Ce qui donne : \[
7 - x = -64.
\]
Étape 3 : Résoudre pour \(x\)
On isole \(x\) : \[
-x = -64 - 7 \quad \Longrightarrow \quad -x = -71.
\] Ainsi : \[
x = 71.
\]
Conclusion
La solution de l’équation est : \[
\boxed{x = 71}
\]
Étape 1 : Écrire l’équation
Nous avons : \[
\sqrt[3]{4 - x} = 64.
\]
Étape 2 : Élever au cube
On élève chaque côté de l’équation au cube pour se débarrasser de la
racine cubique : \[
\left(\sqrt[3]{4 - x}\right)^3 = 64^3.
\] Ce qui donne : \[
4 - x = 64^3.
\]
Étape 3 : Calculer \(64^3\)
Calculons étape par étape : \[
64^3 = 64 \times 64 \times 64.
\] On sait que : \[
64 \times 64 = 4096,
\] alors : \[
4096 \times 64 = 262144.
\] Donc : \[
4 - x = 262144.
\]
Étape 4 : Résoudre pour \(x\)
On isole \(x\) : \[
-x = 262144 - 4 \quad \Longrightarrow \quad -x = 262140.
\] Ainsi : \[
x = -262140.
\]
Conclusion
La solution de l’équation est : \[
\boxed{x = -262140}
\]
Chaque équation a été résolue en appliquant des opérations permettant d’isoler \(x\) et en vérifiant que les conditions de définition des fonctions (racine carrée ou racine d’ordre quelconque) sont respectées.