Trouver, lorsque cela est possible, le ou les nombres \(x\) qui vérifient :
\((-2)^3 \cdot x - 4 = 36\)
\((-5)^2 \cdot x + 3 = -47\)
\(x \cdot (-4)^2 - (-5) = 85\)
\(x \cdot (-1)^5 - 7 = 0\)
\((-3)^2 \cdot x^3 - (-50) = -22\)
\(x^4 \cdot 5^2 + (-15) = 10\)
\((-2)^x \cdot (-3)^2 + (-12) = -3\)
\(x^3 - 4^2 \cdot (-1)^5 = -11\)
Réponses :
1) x = -5
2) x = -2
3) x = 5
4) x = -7
5) x = -2
6) x = 1 ou x = -1
7) x = 0
8) x = -3
Voici la correction détaillée :
\[ (-2)^3 \cdot x - 4 = 36 \]
Étape 1 : Calculer \((-2)^3\).
\[
(-2)^3 = -2 \times -2 \times -2 = -8
\]
Étape 2 : Remplacer dans l’équation.
\[
-8x - 4 = 36
\]
Étape 3 : Isoler le terme en \(x\).
On ajoute 4 des deux côtés :
\[
-8x = 36 + 4 = 40
\]
Étape 4 : Diviser par \(-8\).
\[
x = \frac{40}{-8} = -5
\]
Réponse : \(x = -5\)
\[ (-5)^2 \cdot x + 3 = -47 \]
Étape 1 : Calculer \((-5)^2\).
\[
(-5)^2 = 25
\]
Étape 2 : Remplacer dans l’équation.
\[
25x + 3 = -47
\]
Étape 3 : Isoler le terme en \(x\).
Soustraire 3 de chaque côté :
\[
25x = -47 - 3 = -50
\]
Étape 4 : Diviser par 25.
\[
x = \frac{-50}{25} = -2
\]
Réponse : \(x = -2\)
\[ x \cdot (-4)^2 - (-5) = 85 \]
Étape 1 : Calculer \((-4)^2\).
\[
(-4)^2 = 16
\]
Étape 2 : Remplacer dans l’équation et simplifier le double
signe négatif.
Notons que \(-(-5) = 5\), donc :
\[
16x + 5 = 85
\]
Étape 3 : Isoler \(x\).
Soustraire 5 de chaque côté :
\[
16x = 85 - 5 = 80
\]
Étape 4 : Diviser par 16.
\[
x = \frac{80}{16} = 5
\]
Réponse : \(x = 5\)
\[ x \cdot (-1)^5 - 7 = 0 \]
Étape 1 : Calculer \((-1)^5\).
\[
(-1)^5 = -1
\]
Étape 2 : Remplacer dans l’équation.
\[
-1 \cdot x - 7 = 0 \quad \Longrightarrow \quad -x - 7 = 0
\]
Étape 3 : Isoler \(x\).
Ajouter 7 des deux côtés :
\[
-x = 7 \quad \Longrightarrow \quad x = -7
\]
Réponse : \(x = -7\)
\[ (-3)^2 \cdot x^3 - (-50) = -22 \]
Étape 1 : Calculer \((-3)^2\).
\[
(-3)^2 = 9
\]
Étape 2 : Remplacer dans l’équation.
Sachant que \(-(-50) = 50\), on obtient
:
\[
9x^3 + 50 = -22
\]
Étape 3 : Isoler \(x^3\).
Soustraire 50 des deux côtés :
\[
9x^3 = -22 - 50 = -72
\]
Étape 4 : Diviser par 9.
\[
x^3 = \frac{-72}{9} = -8
\]
Étape 5 : Extraire la racine cubique.
\[
x = \sqrt[3]{-8} = -2
\]
Réponse : \(x = -2\)
\[ x^4 \cdot 5^2 + (-15) = 10 \]
Étape 1 : Calculer \(5^2\).
\[
5^2 = 25
\]
Étape 2 : Remplacer dans l’équation.
\[
25x^4 - 15 = 10
\]
Étape 3 : Isoler \(x^4\).
Ajouter 15 des deux côtés :
\[
25x^4 = 10 + 15 = 25
\]
Étape 4 : Diviser par 25.
\[
x^4 = \frac{25}{25} = 1
\]
Étape 5 : Trouver les solutions de \(x^4 = 1\).
Pour les nombres réels,
\[
x^4 = 1 \quad \Longrightarrow \quad x = 1 \quad \text{ou} \quad x = -1
\]
Réponse : \(x = 1\) et \(x = -1\)
\[ (-2)^x \cdot (-3)^2 + (-12) = -3 \]
Étape 1 : Calculer \((-3)^2\).
\[
(-3)^2 = 9
\]
Étape 2 : Remplacer dans l’équation.
\[
9 \cdot (-2)^x - 12 = -3
\]
Étape 3 : Isoler le terme en \((-2)^x\).
Ajouter 12 des deux côtés :
\[
9 \cdot (-2)^x = -3 + 12 = 9
\]
Diviser par 9 :
\[
(-2)^x = \frac{9}{9} = 1
\]
Étape 4 : Résoudre \((-2)^x =
1\).
En remarquant que pour tout nombre non nul et pour \(x = 0\), on a :
\[
(-2)^0 = 1
\]
Conclusion :
La seule solution raisonnable est :
\[
x = 0
\]
Réponse : \(x = 0\)
\[ x^3 - 4^2 \cdot (-1)^5 = -11 \]
Étape 1 : Calculer \(4^2\)
et \((-1)^5\).
\[
4^2 = 16 \quad \text{et} \quad (-1)^5 = -1
\]
Étape 2 : Remplacer dans l’équation.
\[
x^3 - 16 \cdot (-1) = x^3 + 16 = -11
\]
Étape 3 : Isoler \(x^3\).
Soustraire 16 des deux côtés :
\[
x^3 = -11 - 16 = -27
\]
Étape 4 : Extraire la racine cubique.
\[
x = \sqrt[3]{-27} = -3
\]
Réponse : \(x = -3\)
Chaque étape vous permet de suivre la logique pour isoler la variable \(x\) et trouver sa valeur.