Exercice 36

Exercice

Dans l’équation \[ 2\cdot(2r+3p)=60, \] effectuez les opérations suivantes :

1. Déterminez la valeur de \(p\) dans chacun des cas suivants :
   • Lorsque \(r = 9\)
   • Lorsque \(r = 15\)
   • Lorsque \(r = 6\)
2. Déterminez la valeur de \(r\) dans chacun des cas suivants :
   • Lorsque \(p = 2\)
   • Lorsque \(p = 8\)
   • Lorsque \(p = 10\)

Réponse

Réponses synthétiques :

• Pour r : r = 9 ⟹ p = 4 ; r = 15 ⟹ p = 0 ; r = 6 ⟹ p = 6.

• Pour p : p = 2 ⟹ r = 12 ; p = 8 ⟹ r = 3 ; p = 10 ⟹ r = 0.

Corrigé détaillé

Voici la correction détaillée de l’exercice.

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Énoncé

Nous avons l’équation suivante : \[ 2\cdot (2r+3p)=60. \]

Pour simplifier, la première étape est de diviser chaque côté de l’équation par 2. Ainsi, on obtient : \[ 2r + 3p = 30. \] Cette équation sera utilisée pour trouver les valeurs demandées.

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Partie 1 : Trouver la valeur de \(p\) pour chaque valeur de \(r\)

Cas 1 : Lorsque \(r = 9\)

1. On remplace \(r\) par 9 dans l’équation : \[ 2 \cdot 9 + 3p = 30. \]
2. Calcul de \(2 \cdot 9\) : \[ 18 + 3p = 30. \]
3. On isole \(3p\) en soustrayant 18 : \[ 3p = 30 - 18 = 12. \]
4. Enfin, on divise par 3 pour trouver \(p\) : \[ p = \frac{12}{3} = 4. \]

Cas 2 : Lorsque \(r = 15\)

1. Substitution de \(r = 15\): \[ 2 \cdot 15 + 3p = 30. \]
2. Calcul de \(2 \cdot 15\) : \[ 30 + 3p = 30. \]
3. On soustrait 30 pour isoler \(3p\) : \[ 3p = 30 - 30 = 0. \]
4. Division par 3 : \[ p = \frac{0}{3} = 0. \]

Cas 3 : Lorsque \(r = 6\)

1. Substitution de \(r = 6\): \[ 2 \cdot 6 + 3p = 30. \]
2. Calcul de \(2 \cdot 6\) : \[ 12 + 3p = 30. \]
3. Isoler \(3p\) en soustrayant 12 : \[ 3p = 30 - 12 = 18. \]
4. Division par 3 : \[ p = \frac{18}{3} = 6. \]

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Partie 2 : Trouver la valeur de \(r\) pour chaque valeur de \(p\)

Cas 1 : Lorsque \(p = 2\)

1. On remplace \(p\) par 2 dans l’équation : \[ 2r + 3 \cdot 2 = 30. \]
2. Calcul de \(3 \cdot 2\) : \[ 2r + 6 = 30. \]
3. Isoler \(2r\) en soustrayant 6 : \[ 2r = 30 - 6 = 24. \]
4. Division par 2 pour trouver \(r\) : \[ r = \frac{24}{2} = 12. \]

Cas 2 : Lorsque \(p = 8\)

1. Substitution de \(p = 8\) : \[ 2r + 3 \cdot 8 = 30. \]
2. Calcul de \(3 \cdot 8\) : \[ 2r + 24 = 30. \]
3. Isoler \(2r\) en soustrayant 24 : \[ 2r = 30 - 24 = 6. \]
4. Division par 2 : \[ r = \frac{6}{2} = 3. \]

Cas 3 : Lorsque \(p = 10\)

1. Remplacer \(p\) par 10 : \[ 2r + 3 \cdot 10 = 30. \]
2. Calcul de \(3 \cdot 10\) : \[ 2r + 30 = 30. \]
3. Soustraction de 30 pour isoler \(2r\) : \[ 2r = 30 - 30 = 0. \]
4. Division par 2 : \[ r = \frac{0}{2} = 0. \]

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Récapitulatif des réponses

1. Pour la variable \(p\) :
   • Lorsque \(r = 9\), \(p = 4\).
   • Lorsque \(r = 15\), \(p = 0\).
   • Lorsque \(r = 6\), \(p = 6\).
2. Pour la variable \(r\) :
   • Lorsque \(p = 2\), \(r = 12\).
   • Lorsque \(p = 8\), \(r = 3\).
   • Lorsque \(p = 10\), \(r = 0\).

Chaque étape a été détaillée pour s’assurer qu’une personne du collège puisse comprendre la démarche et la résolution de chacune des parties de l’exercice.