Soit l’équation \[
2\bigl(4x + 2y\bigr)=84.
\] Déterminez la valeur de \(x\)
pour chacun des cas suivants : 1) \(y=7\)
2) \(y=21\)
3) \(y=3\)
4) \(y=13\)
Réponse courte : L’équation se simplifie en 4x + 2y = 42, d’où x = (21 – y)/2. Ainsi, pour y = 7, 21, 3 et 13, on trouve respectivement x = 7, 0, 9 et 4.
Pour résoudre l’équation \[ 2\bigl(4x + 2y\bigr)=84, \] nous allons procéder étape par étape.
On commence par développer ou simplifier l’équation. Comme tout le côté gauche est multiplié par 2, nous pouvons diviser chaque côté de l’équation par 2 pour simplifier :
\[ 2\bigl(4x + 2y\bigr)=84 \quad \Rightarrow \quad 4x+2y = \frac{84}{2} = 42. \]
Maintenant, l’équation devient :
\[ 4x + 2y = 42. \]
Pour exprimer \(x\) en fonction de \(y\), nous souhaitons isoler \(x\) dans l’équation. On soustrait \(2y\) des deux côtés :
\[ 4x = 42 - 2y. \]
Ensuite, on divise par 4 pour obtenir \(x\) :
\[ x = \frac{42 - 2y}{4}. \]
On peut simplifier la fraction en remarquant que le numérateur peut se factoriser :
\[ x = \frac{2(21 - y)}{4} = \frac{21 - y}{2}. \]
Nous avons donc trouvé que \[ \boxed{x = \frac{21 - y}{2}}. \]
Nous allons maintenant appliquer la formule obtenue pour les différents cas.
Pour \(y = 7\) :
Remplaçons \(y\) dans la formule : \[ x = \frac{21 - 7}{2} = \frac{14}{2} = 7. \] Donc, \(x = 7\).
Pour \(y = 21\) :
Remplaçons \(y\) dans la formule : \[ x = \frac{21 - 21}{2} = \frac{0}{2} = 0. \] Donc, \(x = 0\).
Pour \(y = 3\) :
Remplaçons \(y\) dans la formule : \[ x = \frac{21 - 3}{2} = \frac{18}{2} = 9. \] Donc, \(x = 9\).
Pour \(y = 13\) :
Remplaçons \(y\) dans la formule : \[ x = \frac{21 - 13}{2} = \frac{8}{2} = 4. \] Donc, \(x = 4\).
Chaque étape permet de comprendre comment isoler \(x\) et trouver sa valeur selon les différents \(y\). Cette méthode est très utile pour résoudre ce type d’équation linéaire.